Ejemplo de un espacio que no es una variedad topológica.

Question

Deje $A,B$ dos puntos que no están en la línea real.

Deje $S=(\Bbb{R} \setminus \{0\}) \cup \{A,B\}$

Podemos definir una topología en S de la siguiente manera:

En $(\Bbb{R} \setminus \{0\})$, el uso de la topología de subespacio heredado de $\Bbb{R}$, con intervalos de base. Una base de los barrios en $A$ es el conjunto $\{I_A(−c,d) | c,d > 0\}$, y del mismo modo, una base de vecindades en $B$ es el conjunto $\{I_B(−c,d) | c,d > 0\}$, donde $$I_A(−c,d)=(-c,0) \cup \{A\} \cup (0,d)$$ $$I_B(−c,d)=(-c,0) \cup \{B\} \cup (0,d)$$

Tengo que demostrar que este espacio es localmente Euclideian,segundo contable, pero no Hausdorff. Así, el espacio no es un topológica del colector.

He comprobado que este espacio es localmente euclideian pero no Hausdorff.

Para el segundo countability no estoy seguro de si mi argumento es correcto.

Segundo countability es una enfermedad hereditaria de la propiedad por lo $\Bbb{R} \setminus \{0\}$ es el segundo contables como un subespacio de la segunda contable real de la línea.

Por lo tanto existe un countablle base $C=\{B_n|n \in \Bbb{N}\}$ para $\Bbb{R} \setminus \{0\}$

Ahora tomamos los conjuntos de $$D_A=\{I_A(c,d)|c,d>0 \text{ and } c,d \in \Bbb{Q}\}$$ $$D_B=\{I_B(c,d)|c,d>0 \text{ and } c,d \in \Bbb{Q}\}$$

Ahora tomamos el contable de la unión de $$W=C \cup D_A \cup D_B$$ .

Es $W$ a la base correcta para demostrar a la declaración de la segunda countability??

Gracias de antemano.

Answer 1

¡Se ve bien hasta ahora!

Otro enfoque es observar que el espacio se puede expresar como$S = X \cup Y$ donde los subespacios$X$ y$Y$ son copias de la línea real, por lo tanto, segundo contable. Debe haber un teorema en algún lugar que diga que la unión de dos segundos subespacios contables es, en sí misma, un segundo contable.