Estimación de máxima probabilidad para una variable aleatoria continua con un parámetro desconocido

Question

Deje $X$ ser una variable aleatoria con el parámetro desconocido $\lambda$ y el siguiente pdf $$f(t)=2\lambda t\cdot\mathrm e^{-\lambda t^2}\cdot\textbf{1}_{[0,\infty)}(t)$$ donde $\textbf{1}_A(x)$ es un indicador de la función con $$\textbf{1}_A(x)=\begin{cases}1,&\text{if }x\in A,\\0,&\text{else.}\end{cases}$$ Deje $\vec x=(x_1,\ldots,x_n)$ ser una muestra de $X$. Determinar el máximo de probabilidad del estimador $\widehat{\lambda}$ de manera tal que el siguiente es verdadero para la probabilidad de la función de $\mathcal L(\vec x;\lambda)$: $$\forall \lambda\;:\;\mathcal L(\vec x;\lambda)\leq \mathcal L(\vec x;\widehat\lambda)$$

Por el bien de la simplicidad, mis primeros pensamientos fueron para obtener el logaritmo de la probabilidad de esta manera: $$\mathcal L(\vec x;\lambda)=\prod\limits_{i=1}^nf(x_i)\implies \ln(\mathcal L(\vec x;\lambda))=\sum\limits_{i=1}^n\ln(f(x_i))$$ Este es el punto donde estoy atascado: no sé cómo calcular la derivada de maximizar la función de $$\frac{\mathrm d \ln(\mathcal L(\vec x;\lambda))}{\mathrm d\lambda}\overset{!}{=}0.$$ Consejos sobre cómo derivar la suma sería apreciada.

Answer 1

Tenemos$$L(\vec x,\lambda)=\prod_{j=1}^n(2\lambda x_j)\cdot e^{-\lambda x_j^2}=2^n\left(\prod_{k=1}^nx_k\right)\lambda ^n\exp\left(-\lambda \lVert x\rVert^2\right)\chi_{x_j\geq 0\forall j},$ $ por lo tanto, asumiendo el$x_j> 0$. $$\log L(\vec x,\lambda)=n\log 2+\sum_{j=1}^n\log x_j+n\log\lambda-\lambda\lVert x\rVert^2.$ $ Ahora, tomando el derivado con respecto a$\lambda$, obtenemos$$\partial_{\lambda}\log L(\vec x,\lambda)=\frac n{\lambda}-\lVert x\rVert^2.$ $ Te dejo terminar el cálculo.