De$n^2$ puntos de intersección,$np$ se encuentran en la curva de grados. $p < n$, luego el$n(n - p)$ restante se encuentra en una curva de grados. $n - p$

Question

Deje que$C$,$C'$ sean curvas de dos planos del grado$n$. ¿Es verdad la siguiente afirmación o no?

Supongamos que de los$n^2$ puntos de intersección,$np$ se encuentran en una curva de grado$p < n$, entonces el$n(n - p)$ restante se ubicará en una curva de grado$n - p$ .

Answer 1

Escoja a otro punto sobre la curva de grado $p$. Encontrar una combinación lineal de las dos curvas de grado $n$ que se desvanece en este nuevo punto. La intersección de una curva de grado $p$ a $np + 1$ puntos, por lo tanto, por el inverso del teorema de Bézout, comparten una componente irreducible. Suponiendo que la curva de grado $p$ es irreducible, entonces quite del grado $n$ curva para obtener un grado $n - p$ curva con la propiedad deseada.

Si es reducible, entonces tenemos que para cada componente irreducible, existe una combinación lineal que contiene a ambos. Si estos no son todos el mismo, una intersección de ambos irreductible de los componentes de la licenciatura $p$ curva está obligado a ser un punto de intersección de las dos grados $n$ curvas, por lo tanto cuenta como multiplicidad mayor que $1$ en el teorema de Bézout, lo que contradice no ser $np$ puntos de intersección.