Cálculo de la probabilidad de$ (Z-1)^2 \leq XY$

Question

Seleccionamos al azar tres números $X, Y, Z$ $\in [0,1]$% . Calcula la probabilidad de que $ (Z-1)^2 \leq XY$ .

He intentado observar solo el "borde", es decir, $ (Z-1)^2 = XY$, pero estoy bastante atascado en el cálculo de los límites para la integral doble. Cualquier sugerencia ayuda!

Answer 1

Como $(Z-1)^2\le XY$ es equivalente a $1-Z\le \sqrt{XY}$ o $1-\sqrt{XY}\le Z$ , se deduce que $$ \ eqalign {\ mathbb {P} ((Z-1) ^ 2 \ le XY) & = \ mathbb {P} (1- \ sqrt {XY} \ le Z) \ cr & = \ int_ {x = 0} ^ 1 \ int_ {y = 0} ^ 1 \ int_ {z = 1- \ sqrt {xy}} ^ 1dzdydx \ cr & = \ int_ {x = 0} ^ 1 \ int_ {y = 0} ^ 1 \ sqrt {xy} dydx \ cr & = \ int_ {x = 0} ^ 1 \ sqrt {x} dx \ int_ {y = 0} ^ 1 \ sqrt {y} dy = \ frac {4} {9}. } $$