Si $G$ es nilpotente, y $a$ y $b$ son elementos de orden finito relativamente primos, entonces $a$ y $b$ conmutan; esto es válido tanto si $G$ es finito o no. (Es decir, la condición es necesaria, por lo que "sólo si" se cumple en todos los casos).
Nota. El argumento de Plop a continuación es mucho más fácil que el mío aquí. Esto es probablemente el resultado del Síndrome de Cuando-Tienes-un-Martillo. He usado el cálculo conmutador un lote en mi trabajo, por lo que suele ser una de las primeras herramientas a las que recurro cuando me enfrento a este tipo de problemas.
Dado que un elemento de orden finito puede escribirse como producto de elementos de orden primo potencia, basta considerar el caso en que $a$ y $b$ son de orden de potencia primo, $\mathrm{ord}(a) = p^n$ , $\mathrm{ord}(b) = q^m$ , $p$ y $q$ primos distintos, $n,m$ enteros positivos.
La clave está en utilizar las siguientes consecuencias del proceso de colecciones de P. Hall (puedes ver los resultados básicos en el libro Group Theory de Marshall Hall; estoy citando estos teoremas de R.R. Struik's Productos nopotentes de grupos cíclicos , Canad. J. Math. 12 (1960), 447-462.
Teorema. Sea $x$ y $y$ dos elementos cualesquiera de un grupo. Ldt $u_1,\ldots,u_n,\ldots$ sea una secuencia fija de conmutadores en $x$ y $y$ de peso no decreciente; es decir, $u_1 = [x,y]$ , $u_2=[[x,y],x]$ , $u_3 = [[x,y],y]$ etc. Entonces $$(xy)^n = x^ny^n u_1^{f_1(n)}u_2^{f_2(n)}\cdots u_t^{f_t(n)}\cdots$$ donde $$f_i(n) = a_1\binom{n}{1}+a_2\binom{n}{2}+\cdots+a_{w_i}\binom{n}{w_i},$$ $a_i$ son enteros racionales, y $w_ii$ es el peso de $u_i$ como conmutador en $x$ y $y$ . La primera fórmula es una identidad si el grupo es nilpotente; en caso contrario, puede considerarse que da una serie de aproximaciones a $(xy)^n$ modulo términos sucesivos de los seres centrales inferiores.
Teorema. Sea $\alpha$ sea un número entero fijo, y que $G$ sea un grupo tal que el $n$ término de la serie central inferior de $G$ es trivial. Entonces si $b_j\in G$ y $r\lt n$ , $$[b_1,\ldots,b_{i-1},b_i^{\alpha},b_{i+1},\ldots,b_r] = [b_1,\ldots,b_r]^{\alpha} v_1^{f_1(\alpha)}v_2^{f_2(\alpha)}\cdots$$ donde el $v_k$ son conmutadores en $b_1,\ldots,b_r$ de peso superior a $r$ y cada $b_j$ , $1\leq j\leq r$ aparece en cada conmutador $v_k$ . En $f_i$ son de la forma $$f_i(n) = a_1\binom{n}{1}+a_2\binom{n}{2}+\cdots+a_{w_i}\binom{n}{w_i}$$ donde $w_i$ es el peso de $v_i$ menos $r-1$ .
Utilizando estos dos teoremas y la inducción decreciente, es fácil comprobar que si $G$ es nilpotente, entonces para una potencia suficientemente grande de $p$ tenemos $$[a^{p^N},b] = [a,b^{p^N}].$$ Para un $N$ el lado izquierdo es trivial; en el lado derecho, puesto que $b$ es de orden primo a $p$ se deduce que $b$ es una potencia de $p^N$ por lo que el hecho de que $[a,b^{p^N}]$ es trivial, lo que equivale a que $a$ conmuta con $b^{p^N}$ implica que $a$ también conmuta con cualquier potencia de $b^{p^N}$ en particular que $a$ conmuta con $b$ .
Así que si $G$ es nilpotente, ya sea finito o infinito, y $a,b\in G$ son dos elementos de orden coprimo finito, entonces $a$ y $b$ conmutar.
Lo contrario es cierto para los grupos finitos (un grupo finito es nilpotente si y sólo si es un producto directo de $p$ -lo que implica que dos elementos de orden coprimo conmutarán. Pero lo contrario es falso para grupos infinitos. Además del ejemplo de Plop, he aquí un ejemplo de torsión ejemplo en el que la condición se cumple de forma no vacía:
Fijar un primo $p$ . Para cada $n\gt 1$ , dejemos que $G(p,n)$ sea un grupo nilpotente de orden $p^n$ y de clase máxima (es decir, de clase $n-1$ ); tales grupos existen. Sea $$\mathfrak{G}_p = \bigoplus_{n=2}^{\infty} G(p,n).$$ Entonces $\mathfrak{G}_p$ es de torsión, pero no es nilpotente, ya que el $n$ de la serie central inferior de $\mathfrak{G}_p$ es la suma directa de los $n$ términos de la serie central inferior del $G(p,m)$ para cada $m$ por lo que no es trivial para cada $n$ . Tomemos ahora dos primos distintos, $p$ y $q$ y que $\mathcal{G}=\mathfrak{G}(p)\oplus\mathfrak{G}(q)$ . Esto es torsión, tiene elementos no triviales de orden coprimo, cualesquiera dos elementos de orden coprimo conmutan, pero $\mathcal{G}$ no es nilpotente (ya que tiene sugrupos no nilpotentes).
Así que la condición es necesaria en general, y suficiente en el caso finito para la nilpotencia.
