Sobre el teorema de las tres reflexiones

Question

Recientemente he resuelto este ejercicio de Hartshorne de la Geometría Clásica.

Tres líneas $a$, $b$, $c$ a través de un punto de $O$, muestran que no existe un único cuarto de la línea de $d$ tal que $$\sigma_c\sigma_b\sigma_a=\sigma_d,$$ donde $\sigma$ denota la reflexión en una línea dada.

En el diagrama de abajo, me tome $A\in a$, vamos a $B$ ser el reflejo de $A$ a través de $b$, $C$ ser el reflejo de $B$ través $c$, y, a continuación, deje $d$ ser la mediatriz de $AC$. Tuve la oportunidad de probar $\sigma_c\sigma_b\sigma_a=\sigma_d$, que voy a ser feliz, a incluir si alguien se lo pide. De todos modos, con base en eso, sé que $\sigma_d$ corrige $O$, y por lo tanto pasa a través de $O$.

Mi pregunta de seguimiento a este ejercicio, es el ángulo entre el $a$ e $d$ congruente con el ángulo entre el $b$ e $c$? Tengo la curiosidad de saber, porque si es así, creo que esto implica que los tres ejes de reflexión a través de un punto, podemos girar dos de ellos, de modo que coincide con la tercera, por lo tanto la cancelación, y la imagen de la primera girado línea será el deseado $d$.

Tengo una corazonada es cierto basa en una pregunta anterior, pero esto parece ser una forma diferente de probarlo. He incluido una imagen con la que los ángulos sé que son congruentes, y supongo que estoy trabajando en un plano Euclidiano. Gracias por la comprensión.

Answer 1

La respuesta es sí. No tengo puramente geométrica prueba, ya que me estafaron y se utiliza álgebra lineal. :)

Deje $T_\phi = \begin{pmatrix} \cos\phi & \sin\phi \\ \sin\phi & -\cos\phi \end{pmatrix}$. Esta matriz representa la reflexión a través de una línea en un ángulo de $\phi/2$ a de la $x$ eje.

Si sus líneas $a$, $b$, $c$ tienen ángulos $\alpha/2$, $\beta/2$, $\gamma/2$ a la $x$ eje, a continuación, $\sigma_c \sigma_b \sigma_a$ es representado por la matriz de $T_\gamma T_\beta T_\alpha$, lo que equivale a $T_{\gamma-\beta+\alpha}$ por pura álgebra. Podemos elegir el sistema de coordenadas de modo que $a$ es el $x$ eje, y por lo tanto,$\alpha=0$. Luego, por la matriz de la fórmula anterior, $d$ se encuentra en un ángulo de $(\gamma-\beta+0)/2$ a de la $x$ eje (que es, a $a$), y este es el mismo que el ángulo de $\gamma/2-\beta/2$ entre $c$ e $b$.

Answer 2

como$\sigma_c\sigma_b=\sigma_d\sigma_a$, los ángulos deben ser los mismos (la composición de 2 reflexiones es la rotación al doble del ángulo)