¿Cuál es la topología en un espacio vectorial generado por una familia de seminormas?

Question

Tengo una pregunta sobre espacios vectoriales topológicos. Estoy tan confundido acerca de lo que queremos decir por decir una topología generada por una familia de seminorms.

Al principio, pensé que simplemente significa que el inicial de la topología generada por la familia de seminorm funciones. Pero luego, he leído acerca de este ejemplo, el Ejemplo 2.

Sea X un conjunto, $\mathbb{C}^X = \{ f: X \to \mathbb{C} \}$ es un espacio vectorial complejo. Para cada una de las $x \in X$, considere la posibilidad de $\| \cdot \|_x : \mathbb{C}^X \rightarrow \mathbb{R}$, ${\| f \|}_x = | f(x) |$. Este es un seminorm en $\mathbb{C}^X$. La topología generada por este conjunto de seminorms como $x$ varia $X$ es el producto de la topología en $\mathbb{C}$.

¿Por qué es esta la misma topología la topología producto en $\mathbb{C}^X$? Si esto es cierto, la propiedad de la topología inicial implicaría $f_n$ converge a $f$ en $\mathbb{C}^X$ fib $|f_n(x)|$ converge a $| f(x)|$, para todos los $x\in X$. Sin embargo, la propiedad del producto de la topología implicaría $f_n$ converge a $f$ en $\mathbb{C}^X$ fib $f_n(x)$ converge a $f(x)$, para todos los $x\in X$. En consecuencia, $f_n(x)$ converge a $f(x)$, para todos los $x\in X$ fib $|f_n(x)|$ converge a $| f(x)|$, para todos los $x\in X$, que creo que no es cierto.

¿Por qué obtengo una contradicción aquí?

Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

La topología generada por un conjunto de seminorms no es sólo la topología inicial que generan. Más bien, es la topología inicial que ellos y todos sus traduce generar (o, equivalentemente, la traducción inicial-invariante de la topología que generan). Es decir, para todos los $f$ en el espacio y a cada seminorm $p$, se requieren no sólo que el $p$ es continua con respecto a la topología, pero también que $g\mapsto p(g-f)$ es continua. La idea es que para cada una de las $f$, deberíamos pensar en la $p(g-f)$ como una forma de medir la distancia de $g$ a $f$, y para el conjunto de la $g$ tal que $p(g-f)$ es pequeño debe ser un barrio de $f$.

Así, en el ejemplo de la topología producto, si $f_n$ converge a $f$, lo que significa no sólo que el $|f_n(x)|$ converge a $|f(x)|$ para todos los $x$, pero que para cualquier $f'$, $|f_n(x)-f'(x)|$ converge a $|f(x)-f'(x)|$. Tomando $f'=f$, esto implica $|f_n(x)-f(x)|$ converge a $0$, lo $f_n(x)$ converge a $f(x)$.

De manera más general, es típico para describir una topología sobre un espacio vectorial por sólo describir los barrios de $0$, y a continuación, obtener los barrios de otros puntos de la traducción. Que es lo que está pasando aquí: cuando usted dice que un conjunto de seminorms "genera" la topología, que en realidad sólo significa que generan los barrios de $0$, y en los barrios de todos los demás puntos son obtenidos por la traducción.