Demuestre, para siempre$x$ en un subgrupo máximo hay un$n$ tal que$p^n x \in G$.

Question

La tercera parte de esta pregunta me está dando problemas. Creo que me estoy perdiendo algo trivial (?).

Considere la posibilidad de $\mathbb{R}$ como un grupo en virtud de la adición.

1. Demostrar, usando el Lema de Zorn, que hay un subgrupo de $G$ de % de $\mathbb{R}$ que es la máxima w.r.t. la propiedad que $1\not \in G$.

2. Supongamos $G$ es como en (1.). Demostrar que existe un único número primo $p$ tal que $p\in G$.

3. Deje $p$ ser como en (2.). Demostrar que para cada $x \in \mathbb{R}$ hay un $n\geqslant 0$ tal que $p^n x\in G$.

Prueba

He sido capaz de probar 1. y 2. pero para 3. Me parece que falta una forma de poner 1. y 2. juntos. Yo estaba pensando en la siguiente:

Deje $G$ ser un subgrupo maximal con $1\not \in G$. Elegir un $x \in \mathbb{R}$. Si $x\in G$ entonces $n=0$ es suficiente.

Ahora vamos a $x\not \in G$. Considere la posibilidad de $H:= \langle G \cup \{x\}\rangle$. A continuación, $1\in H$ porque $G$ fue máxima. Lo que implica $1=g+k\cdot x$ durante un cierto $g\in G$ e $k\in \mathbb{Z}$.

Esto implica $p = p\cdot g + pkx$, lo que implica $pkx \in G$ (debido a $p\in G$).

Sin embargo, ¿cómo debo continuar, ¿cómo puedo usar (2.)? (el hecho de que $p$ es la única prime en $G$)? Algún consejo?

EDITAR

Inspirado por Derek Holt, he hecho la prueba de la siguiente manera:

Primer aviso de que 2. implica $G\cap \mathbb{Z} = \langle p \rangle$.

Ahora, una vez más vamos a $x\not \in G$ y considerar la posibilidad de $\langle G \cup \{x\}\rangle$,, a continuación, $1$ debe estar en este grupo, lo que implica $1 = g_0+k_0x$ para ciertos $g_0, k_0$. O $p=p\cdot g_0+pk_0x$, lo que implica $pk_0x \in G$.

Ahora considere el $px$ si $px\in G$ lo hace, otra cosa considerar $\langle G \cup \{px\}\rangle$ el cual debe contener 1 debido a maximality de $G$. Por lo $1 = g_1+\tilde k_0px$ para ciertos $g_1, \tilde k_0$. Lo que implica $\tilde k_0 px -1 \in G\Rightarrow k_0 \tilde k_0px - k_0 \in G$ pero desde $k_0px\in G$ la combinación de estos resultados en $k_0 \in G$. Howver $k_0 \in \mathbb{Z}$. Por lo tanto $k_0 \in G\cap \mathbb{Z} = \langle p\rangle$. I. e. $k_0 = k_1\cdot p$ durante un cierto $k_1$ donde $|k_1| < |k_0|$.

Esto implica $k_0px = k_1p^2x \in G$.

Este proceso puede continuar hasta que $|k_{n-1}| = 1$ que se traduce en $p^nx \in G$.

Answer 1

Si$x \in G$ hemos terminado, supongamos que no. Luego, por la máxima de$G$, debemos tener$1 \in G + \langle x \rangle$, para que exista$k_0 \in {\mathbb Z}$ con$k_0 x - 1 \in G$, y por lo tanto,$k_0 p x \in G$.

Del mismo modo, si$px \in G$ hemos terminado, supongamos que no. Luego$1 \in G + \langle px \rangle$, entonces existe$k_1 \in {\mathbb Z}$ con$k_1 p x - 1 \in G$. Por lo tanto,$(k_1 + rk_0)px - 1 \in G$ para todos$r \in {\mathbb Z}$, y así podemos elegir$k_1$ con$|k_1| < |k_0|$. Entonces $k_1 p^2 x \in G$.

Continuando así, si$p^2x \not\in G$ entonces encontramos$k_2$ con$|k_2| < |k_1|$ y$k_2p^2x - 1 \in G$, etc., y como$|k_0| > |k_1| > |k_2| > \cdots$, el proceso debe detenerse con$p^nx \in G$ para algunos $n$.

Answer 2

Aquí es una alternativa a la prueba de los 3, el que más me gusta. Deje $Q = {\mathbb R}/G$ ser el cociente de grupo. A continuación, la imagen $\bar{1}$ de % de $1$ en $Q$ tiene orden de $p$. El maximality condición implica que $\langle \bar{1} \rangle$ está contenida en todos los subgrupos no triviales de $Q$.

La parte 3 dice que todos los elementos de $Q$ han pedido una potencia de $p$. Supongamos que no. Entonces existe $x \in {\mathbb R}$ que el orden de su imagen $\bar{x}$ en $Q$ es infinita o es un primer distinta de $p$. En cualquier caso, $\langle \bar{x} \rangle$ no tiene subgrupos de orden $p$, por lo que no puede contener $\langle \bar{1} \rangle$, contradicción.