muestre que esta ecuación diofantina tiene al menos$3n+3\lfloor \frac{n+1}{3}\rfloor+1$ de solución de entero enteros

Question

Para cualquier entero postive$n\ge 4$, deje que$s(n)$ denote el número de pares ordenados$(x,y,z)$ de enteros positivos para los cuales$$\color{red}{xy+yz+xz=n(x+y+z)}$ $ muestre que$$s(n)\ge 3n+3\lfloor \dfrac{n+1}{3}\rfloor+1$ $

Gracias

Answer 1

He aquí un enfoque para la construcción de la necesaria cantidad de soluciones que utiliza las ideas sugeridas por los individ:

Lo que soluciona algunos $x=k$ donde $1\le k \le 10$ y obtener la ecuación $$(y-n+k)(z-n+k)=n^2-kn+k^2$$

Ahora, estamos buscando para la factorización de los RHS. Hay una obvia de la factorización de que trabaja para todas las $k$: $$n^2-kn+k^2=1 \cdot (n^2-kn+k^2)$$

Esto le da a la solución de $(x,y,z)=(k,n-k+1,k^2-nk+n^2+n-k)$.

Echemos un vistazo a estas soluciones para $k$ ejecución de $1$ a $\lceil \frac{n}{2} \rceil$. Aquí, es fácil comprobar que para $n \ge 4$ 3 números son distintos y tenemos $x<y<z$.

Ya podemos tener 6 permutaciones de cada solución, esto da $6 \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil \ge 6 \frac{n}{2}=3n$ soluciones.

También, podemos encontrar la solución a $(x,y,z)=(n,n,n)$. Así que estamos justo a la izquierda para encontrar $3\lfloor \frac{n+1}{3} \rfloor$ más soluciones.

Por lo tanto, se tenga en cuenta que si elegimos $k$ tal que $n+k$ es divisible por 3, es decir, $k \equiv -n \mod 3$ entonces $n^2-kn+k^2 \equiv 3n^2 \equiv 0 \mod 3$ es decir $n^2-kn+k^2$ es divisible por 3.

Por lo tanto, podemos aquí construir soluciones con $x=k, y=n+3-k$ y resolver el resto de la ecuación de a $z=\frac{n(x+y)-xy}{3}=\frac{(n-k)(n+3)+k^2}{3}$. Ya que debemos elegir $k \le n+2$ hay al menos $\lfloor \frac{n+2}{3} \rfloor$ posibles valores de $k$. Esto daría $6 \lfloor \frac{n+2}{3} \rfloor$ soluciones para $(x,y,z)$ (de nuevo, con las permutaciones), pero es fácil ver que cada una de las soluciones es contada dos veces, así que podemos obtener, al menos, $3 \lfloor \frac{n+2}{3} \rfloor$ soluciones adicionales.

Así que después de comprobar que los tres conjuntos de construcción de soluciones de hecho son disjuntas (que es un poco tedioso pero, básicamente, el trabajo de casos y estimaciones en bruto) vemos que, efectivamente, han construido por lo menos $$3n+3\lfloor \frac{n+2}{3} \rfloor +1$$ distintas soluciones de $(x,y,z)$, lo que es claramente suficiente.

Answer 2

En este caso, para la ecuación.

PS

Elige y defínete el número$$xy+xz+yz=n(x+y+z)$. Luego sustituye en la fórmula y coloca en factores.

PS

Y luego la solución restante se verá así.

PS

PS