La serie $\sum_{n=2}^\infty 1/(logn)^p$

Question

$\sum_{n=2}^\infty 1/(logn)^p$ es similar a $\sum_{n=2}^\infty 1/n^p$

Entonces, ¿es convergente cuando p>1? como la prueba p?

Answer 1

Uso de la regla de l'Hospital

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln^p n}{n}=0$$ por lo que para un tamaño suficientemente grande $n$ tenemos

$$\frac{1}{\ln^pn}\ge \frac1n$$ y podemos utilizar la comparación con la serie armónica para concluir.

Answer 2

No, nunca es convergente. Tenga en cuenta que, como $$ \log\frac{n}{\log^p n} = \log n - p\log\log n \to \infty $$ tenemos $$ \frac{n}{\log^p n} \to \infty $$ y por lo tanto hay $N$ $$ \frac 1n \le \frac 1{\log^p n}, \quad n \ge N $$ Como $\sum \frac 1n$ diverge, $\sum \log^{-p} n$ también lo hace.