Pregunta sobre homomorfismos $f_{!}, f^{!}$ .

Question

Sea $f: A \to B$ sea un homomorfismo de anillo finito y $N$ a $B$ -módulo. $N$ puede considerarse un $A$ -si definimos $A \times N \to N$ , $(a, n) \mapsto f(a)n$ . Por lo tanto, tenemos un mapa $f_{!}: K(B) \to K(A)$ .

Sea $M$ ser un $B$ módulo. $B$ puede considerarse un $A$ si definimos $A \times B \to B$ , $(a, b) \mapsto f(a)b$ . Sea $M_{B}=B\otimes_{A} M$ . Entonces $M_{B}$ es un $B$ -módulo. La acción de $B$ en $M_{B}$ viene dado por $(b', b\otimes m) \mapsto (b'b)\otimes m$ . Por lo tanto, tenemos un mapa $f^{!}: K_{1}(A) \to K_1(B)$ donde $K_1(A)$ es el grupo de Grothendieck obtenido a partir del conjunto de todas las clases de isomorfismo de planos finitamente generados $A$ -módulos.

En la página 88 del libro Introducción al álgebra conmutativa de Atiyah y Macdonald, ejercicio 27(v), se dice que $f_{!}(f^{!}(x)y)=xf_{!}(y)$ pour $x \in K_1(A), y \in K(B)$ . ¿Cómo demostrar este resultado? Creo que $f_{!}(f^{!}(x)y)=f_{!}((B\otimes_{A} x)y)$ . Pero, ¿por qué $f_{!}((B\otimes_{A} x)y) = xf_{!}(y)$ ? Muchas gracias.

Answer 1

Es claramente suficiente para demostrar que $\left(B\otimes_A M\right) \otimes_B N \cong M \otimes_A N$ como $A$ -para cada $A$ -módulo $M$ y cada $B$ -módulo $N$ .

Bueno, observe que $N \cong B \otimes_B N$ como $A$ -módulo. Por lo tanto, $M \otimes_A N \cong M \otimes_A \left(B \otimes_B N\right) \cong \left(M \otimes_A B\right) \otimes_B N \cong \left(B \otimes_A M\right) \otimes_B N$ . Si no estoy haciendo algo mal, esto debería ser suficiente; no es necesario comprobar la naturalidad (aunque los isomorfismos que he esbozado son naturales), y no es necesario demostrar ninguna afirmación sobre la preservación de secuencias exactas (éstas ya estaban incorporadas en la definición del $K_1\left(A\right)$ -estructura en $K\left(B\right)$ ).

Sin embargo, me sorprende un poco la parte ii) del problema. ¿Cómo sabemos que $0\cdot y = 0$ para cada $y\in K\left(A\right)$ ? ¿Tensar una secuencia exacta de plano $A$ -con un arbitraria $A$ -módulo siempre dan una secuencia exacta?