Así, el problema como yo lo veo es como sigue. El término '$p$-ádico Hodge teoría " puede significar una de dos cosas:
- El estudio de la $p$-ádico representaciones de $p$-ádico campos.
- Comparación de teoremas.
Lo que está preguntando es sobre la segunda de estas dos. Comparación de teoremas son teoremas nos dice que el geométrica $p$-ádico representaciones son acordes con el tipo de representaciones que uno podría estudiar en la búsqueda de 1.
La primera comparación es el teorema debido a Faltings, construyendo sobre el trabajo de las personas, tales como la galería Tate (el primero que observó la descomposición de abajo para abelian variedades), y otros:
Teorema(Faltings): Vamos a $K$ $p$- ádico de campo, y $X/K$ ser suave adecuado. Entonces, hay un isomorfismo
$$\mathbb{C}_K\otimes_{\mathbb{Q}_p}H^n_\text{et}(X_{\overline{K}},\mathbb{Q}_p)\cong \bigoplus_q\left(\mathbb{C}_K(-q)\otimes_K H^q(X,\Omega^{n-q}_{X/K})\right)$$
en la categoría de $\text{Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$.
Tal vez una explicación de los términos están en orden aquí. Un $p$-ádico de campo es sólo una característica de la $0$ campo con perfecta residuo de campo de carácter $p$ (por ejemplo, $\mathbb{Q}_p$ o $\mathbb{Q}_p^\text{ur}$). Como se puede adivinar, $\mathbb{C}_K=\widehat{\overline{K}}$ (es decir, si $K=\mathbb{Q}_p$$\mathbb{C}_K=\mathbb{C}_p$). Tenga en cuenta que desde $G_K:=\text{Gal}(\overline{K}/K)$ actúa en $\overline{K}$ por isometrías, se extiende a una acción de $G_K$$\mathbb{C}_K$.
La categoría de $\text{Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$ indica la categoría de $\mathbb{C}_K$-semilinear representaciones de $G_K$. Esto significa una acción de $G_K$ en un finito dimensionales $\mathbb{C}_K$-espacio vectorial $V$, de tal manera que en lugar de $g(\alpha x)=\alpha g(x)$, $\alpha\in\mathbb{C}_K$, y $v\in V$ ($\mathbb{C}_K$- linealidad), tenemos que $g(\alpha x)=g(\alpha)g(x)$ ($\mathbb{C}_K$- semilinearity). Esto es análogo a un complejo espacio vectorial con un conjugado-lineal de la acción de un grupo.
Por último, debo decirle a usted cómo $G_K$ actúa sobre ambos lados de este isomorfismo. A la izquierda actúa en diagonal (ambos tienen un $G_K$ acción). En el lado derecho, sólo se actúa sobre los factores de $\mathbb{C}_K(-q)$ (este es el Tate-twist, como estoy seguro que usted sabe).
Ahora, este teorema se ve muy similar a la normal de la teoría de Hodge para $X/\mathbb{Q}$ un suave variedad proyectiva:
$$H^n_\text{sing}(X^\text{an},\mathbb{Q})\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{C}\cong\bigoplus_q \left(\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Q}}H^q(X,\Omega^{n-q}_{X/\mathbb{Q}})\right)$$
(donde he hecho un uso juicioso de GAGA, por supuesto).
Así que, ¿cómo comparación de teoremas como Faltings' (Faltings?) el teorema anterior, se refieren a $p$-ádico teoría de Hodge como se indica en 1.? Bueno, como $p$-ádico Hodge teóricos, estamos tratando de estudio de la categoría $\text{Rep}_{\mathbb{Q}_p}(G_K)$$\mathbb{Q}_p$ -lineal (terrible notación, lo sé) $G_K$-representaciones. Estos a menudo son demasiado difíciles de entender en abstracto ya que el salvaje inercia grupo de $G_K$ puede actuar altamente no trivial (ver, también en este sentido, Grothendieck $\ell$-ádico monodromy teorema). Así, muchas veces queremos centrar nuestra atención en el más simple de los tipos de representaciones.
Una manera de especificar estos más simple de los tipos de representaciones es con la esperanza de que cuando pasamos de la categoría difícil de $\text{Rep}_{\mathbb{Q}_p}(G_K)$ a la facilidad en la categoría de $\text{Rep}_{\mathbb{C}_p}(G_K)$ ( $V\leadsto V\otimes_{\mathbb{Q}_p}\mathbb{C}_K$ ) que las cosas se comporten bien. En particular, podemos abrigar la esperanza de que al mudarse a esta simple categoría $\text{Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$ nuestra representación se rompe en muy simples pedazos. La más simple de estas piezas (como las codificadas por el Sen-Tate teoremas: $H^0(G_K,\mathbb{C}_K(r))=0$$r\ne 0$, e $H^0(G_K,\mathbb{C}_K)=K$) son los que la suma de las representaciones de la forma$\mathbb{C}_K(q)$$q\in\mathbb{Z}$.
Resulta que hay una buena manera de canónicamente frases cuando un elemento $V$ $\text{Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$ rompe en estas piezas sencillas. Es decir, vamos a definir un functor
$$D:\text{Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)\to \text{Gr}_{K,f}$$
donde la mano derecha de la categoría es la categoría de finito-dimensional graduales $K$-espacios. El functor actúa de la siguiente manera:
$$V\leadsto \bigoplus_{q\in\mathbb{Z}}\left(\mathbb{C}_K(q)\otimes_{\mathbb{C}_K} V\right)^{G_K}\cong \left(B_\text{HT}\otimes_{\mathbb{C}_K} V\right)^{G_K}$$
donde $B_{\text{HT}}$ es el graduado de anillo de $\mathbb{C}_K[T,T^{-1}]$ $G_K$- acción $g(T^i)=\chi_p(g)^i T^i$ (donde $\chi_p$ $p$- ádico cyclotomic carácter de $G_K$). Tenga en cuenta que esto es muy , obviamente, no finito-dimensional $K$-espacio-este de la siguiente manera, una vez más, desde el teorema de Sen-Tate y un ingenioso lema de Serre-Tate.
De hecho, hay en realidad un canónica inyectiva incrustación
$$\bigoplus_q\left(\mathbb{C}_K(-q)\otimes\left(\mathbb{C}_K(q)\otimes_{\mathbb{C}_K}V\right)^{G_K}\right)\hookrightarrow V$$
que es un isomorfismo si y sólo si $V$ se descompone como suma directa de estos simples pedazos $\mathbb{C}_K(q)$ (esto es algo que debe ser comprobado). Si esto se mantiene, llamamos a $V$ Hodge-Tate. Llamamos a $W\in\text{Rep}_{\mathbb{Q}_p}(G_K)$ Hodge-Tate si lo mueve a $\text{Rep}_{\mathbb{C}_K}(G_K)$ ( $W\leadsto W\otimes_{\mathbb{Q}_p}\mathbb{C}_K$ ) es Hodge-Tate.
Si, por $W\in\text{Rep}_{\mathbb{Q}_p}(G_K)$ estamos dispuestos a denotar $D(W\otimes_{\mathbb{Q}_p}\mathbb{C}_K)$ sólo $D(W)$, entonces el teorema de Faltings entonces puede ser enunciada de la siguiente manera agradable:
Teorema(Faltings): Vamos a $K$ $p$- ádico de campo, y $X/K$ un suave adecuado variedad. A continuación, $H^n_\text{et}(X_{\overline{K}},\mathbb{Q}_p)$ es Hodge-Tate, y
$$D\left(H^n_\text{et}(X_{\overline{K}},\mathbb{Q}_p)\right)\cong H^n_\text{Hodge}(X/K)$$
donde
$$H^n_\text{Hodge}(X/K)=\bigoplus_q H^{n-q}(X,\Omega^q_{X/K})$$
(nota: estos son todos los clasificados espacios vectoriales!).
Por lo tanto, desde esta perspectiva, la comparación de los teoremas (los que más se asemejan a la normal de la teoría de Hodge) factor en la teoría de la $p$-ádico representaciones de Galois diciendo que representaciones geométricas son 'nice' (es decir, son Hodge-Tate).
Faltings comparación teorema es sólo el primero de una larga línea de Comparación de teoremas ($C_\text{HT}$,$C_{\text{dR}}$,$C_{\text{cris}}$, y $C_{\text{st}}$ para nombrar unos pocos) que dicen que las representaciones geométricas (en varias formas) son más bonitas y más agradable tipos de $p$-ádico representaciones. Estos corresponden sustitución del anillo de $B_{\text{HT}}$ arriba con 'más finos anillos' (llamada, imaginativo, $B_{\text{dR}},B_\text{cris},B_\text{st}$) y la sustitución de $\text{Gr}_{K,f}$ con más estructurado de categorías. Estos son los llamados período de los anillos, la explicación de lo que podría ser el tema de otro post.
Espero que esto ayude!
