Calculado $f(2004)$ donde la función $f:N \rightarrow Q^*$

Question

Se considera que la función $f:N \rightarrow Q^*$ que tiene propiedades:

$a) f(7) = 4;$

$b) f(8013) = 8015;$

$c) f(n+2).f(n) = 1+ f(n+1).$

Calculado $f(2004)$ .

Todos mis intentos de encontrar el número requerido no dieron resultado. ¿Puede alguien ayudarme? Muchas gracias.

Answer 1

Utilizando (c) para expresar una recurrencia simple $f(n+2)=\frac{f(n+1)+1}{f(n)}$ es fácil demostrar que la secuencia opera un ciclo de longitud 5 (siempre que se eviten los ceros):

$$ f(1)=x $$ $$f(2)=y$$ $$ f(3) = \frac{y+1}{x}$$ $$ f(4) = \frac{x+y+1}{xy}$$ $$f(5) = \frac{x(xy+x+y+1)}{xy(y+1)} = \frac{(x+1)(y+1)}{y(y+1)} = \frac{x+1}{y}$$ $$f(6) = \frac{xy(y+x+1)}{y(x+y+1)} = x$$ $$f(7) = \frac{y(x+1)}{(x+1)} = y$$

Por lo tanto, $f(2)= f(7)=4$ y $f(3)=f(8013)= 8015$

Así que $f(2004)=f(4) = \frac{8016}{4} = 2004$