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Epsilon números

Deje $\alpha$ ser un número ordinal y definir $f_\alpha$ como:

  • $f_\alpha$(0) = $\alpha + 1$
  • $f_\alpha$($n+1$) = $\omega^{f_a(n)}$

Sea S($\alpha$) = sup{$f_a(n)$| $n \in \omega$}

Entonces S($\alpha$) es un épsilon número y es el menos epsilon número mayor que $\alpha$.

Dado que ninguno de los números naturales son epsilon número, creo que S(n)=S(m) para cada número natural n,m. Sé que me estoy mal, pero no sé por qué. Por favor, ayudar.

Y tengo un problema con mostrar lo que $m<n\Rightarrow S(m)<S(n)$

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Ya que la pregunta fue respondida en los comentarios y que no le gusta dejar las preguntas sin respuesta, voy a agregar azarel el comentario como un CW respuesta:

En realidad, $S(n)=S(m)$ para todos los números naturales $n,m$. Desde $\epsilon_0$ es el mínimo epsilon número por encima de ellos.

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