Mostrar que $||x| - |y|| \le |x-y|$ para todos los $x, y, \in \mathbb{R}$

Question

Mostrar que $||x| - |y|| \le |x-y|$ para todos los $x, y, \in \mathbb{R}$

De trabajo:

Así que sabemos que $|x| = |(x-y) + y | \le |x-y|+|y|$

Por lo tanto, $|x|-|y| \le |x-y| \ \cdots (1)$ y de manera similar, $|y|-|x| = -(|x|-|y|) \le |x-y| \ \cdots (2)$.

También sabemos que $||x|-|y|| = \begin{cases} |x|-|y| \ \text{if} \ |x| - |y| \ge 0 \\ -(|x| - |y|) \ \text{if} \ |x| - |y| < 0 \end{cases}$

Consulta:

No estoy exactamente seguro de cómo acabar la prueba. Puedo decir porque $(1)$ e $(2)$ son ambas verdaderas, entonces $||x| - |y|| \le |x-y|$ como se requiere?

Answer 1

Sí, sí puede. Si usted no está seguro, usted puede dividir la prueba en dos casos: $|x|-|y|<0$ o $|x|-|y| \geq 0$. Usted puede probar la desigualdad en ambos casos, y en estos casos contienen todas las posibilidades, por lo que han demostrado la desigualdad en todos los casos.

Answer 2

Sí, porque $\forall x, y \in \mathbb{R}$, $$|x|=|x-y+y|\leq |x-y|+|y|, $$ entonces $$|x|-|y|\leq |x-y| .$$ De forma análoga,

$$|y|=|y-x+x|\leq |y-x|+|x|=|-1(x-y)|+|x|=|x-y|+|x|\Rightarrow |y|-|x|\leq |x-y|, $$ es decir, $$-(|x|-|y|)\leq |x-y|. $$

Ahora, como para todos los $a\in \mathbb{R}$, $|a|=\max\{-a,a\}$, tenemos $$||x|-|y||=\max\{-(|x|-|y|),|x|-|y|\}\leq |x-y|, $$ en otras palabras, $$||x|-|y||\leq |x-y|. $$