Halmos "teoría de la Medida" ejercicio en el límite de la secuencia de conjuntos de

Question

Declaración del problema. Este es un ejercicio en el capítulo 1, sección 4 (problema 13) a partir de Halmos libro de texto:

Si $\{E_n\}$ es una secuencia de conjuntos de escribir

$D_1=E_1, D_2=D_1 \triangle E_2, D_3=D_2 \triangle E_3$

y, en general,

$D_{n+1}=D_n \triangle E_{n+1}$

Demostrar que el límite de la secuencia de $\{D_n\}$ existe si y sólo si $\lim_n E_n=\emptyset$.

El intento de solución.

Estoy bastante atascado con este problema, tengo que usar la definición de límite de una secuencia de conjuntos, es decir, si $\lim$ sup=$\lim$ inf, entonces, este es el límite
de la secuencia. En este caso en particular, supongamos que desea mostrar a la derecha implicación:

$\rightarrow$ Supongamos $\lim_{n \to \infty} D_n$ existe, quiero mostrar que la $\lim_{n \to \infty} E_n=\emptyset$. Pensé que tal vez la manera más fácil de probar que esto es por el absurdo:

Supongamos que $\lim_{n \to \infty} E_n \neq\emptyset$. Esto significa que

(1) no es $x \in \bigcap_{n \in \mathbb N} (\bigcup_{k \geq n} E_k)$,

o, de manera equivalente,

(2) $x \in \bigcup_{n \in \mathbb N} (\bigcap_{k\geq n} E_k)$

Si yo considero (2), (2) implica que existe la $x \in \bigcap_{k\geq n_0} E_k$ para algunos $n_0 \in \mathbb N$.

A partir de aquí no tengo idea de cómo la conclusión de que el límite de $(D_n)_{n \in \mathbb N}$ no existe.

$\leftarrow$ La suposición es que el $\lim_{n \to \infty} E_n=\emptyset$, quiero mostrar que esto implica que $\lim_{n \to \infty} D_n$ existe.

Pero $\lim_{n \to \infty} E_n=\emptyset \implies \bigcap_{n \in \mathbb N} (\bigcup_{k \geq n} E_k)=\emptyset= \bigcup_{n \in \mathbb N} (\bigcap_{k\geq n} E_k)$. De nuevo, estoy confundido sobre cómo podría utilizar esta información para demostrar la existencia del límite de $(D_n)_{n \in \mathbb N}$.

Agradecería un poco de ayuda y sugerencias sobre cómo podría continuar el problema de probar dos consecuencias.

Answer 1

Ser cuidadoso en la dirección de avance. No se puede asumir $\lim_{n\to\infty} E_n$ existe, por lo que (1) y (2) no puede ser equivalente a priori. Si $\limsup_{n\to\infty} E_n = \emptyset$, entonces podemos decir $\lim_{n\to\infty} E_n = \emptyset$. Tenga en cuenta que el límite de $\{D_n\}$ existe si y sólo si $\limsup_{n\to\infty} D_n - \liminf_{n\to\infty} D_n = \emptyset$. Por lo tanto, es suficiente para mostrar $$ \limsup_{n\to\infty} E_n = \limsup_{n\to\infty} D_n - \liminf_{n\to\infty} D_n. $$

Por ejemplo, imagine que $x \in \bigcap_{n \ge 1} E_n$. Observe que $x \in D_1,D_3,D_5,\ldots$, lo que implica $x \in \limsup_{n\to\infty}D_n$. Sin embargo, $x \notin D_2,D_4,D_6,\ldots$, lo $x \notin \liminf_{n\to\infty}D_n$. Te voy a dar un bosquejo de cómo proceder en general.

Supongamos $x \in \limsup_{n\to\infty} E_n$. Deje $\{E_{n_k}\}_{k \ge 1}$ ser a la larga de todos los conjuntos en $\{E_n\}$ que contienen el punto de $x$. Es fácil ver que $x \in D_{n_1}$ pero $x \notin D_{n_2}$. El ejemplo anterior podría llevar a creer que el $x \in D_{n_{k}}$ por extraño $k$ e $x \notin D_{n_{k}}$ incluso $k$. Este resulta ser el caso. Proceder por inducción y utilice el hecho de que para cada $k \ge 2$, $$ D_{n_k} = D_{n_k-1} \triángulo E_{n_k} = D_{n_{k-1}} \triángulo (E_{n_{k-1}+1} \triángulo \cdots \triángulo E_{n_k}). $$ Esto demuestra que $x \in \limsup_{n\to\infty} D_n - \liminf_{n\to\infty} D_n$.

Ahora supongamos que $x \in \limsup_{n\to\infty} D_n - \liminf_{n\to\infty} D_n$. A continuación, hay una infinidad de $D_n$ que contengan $x$, y una infinidad de $D_n$ que no contengan $x$. De manera que podamos elegir un subsequence $\{D_{n_k}\}$ tal que $x \in D_{n_k}$ pero $x \notin D_{n_k-1}$. Ahora tratamos de demostrar que $x \in E_{n_k}$ para todos los $k$ utilizando la definición de $D_{n_k}$. Esto completa la prueba.