Preguntas acerca de la determinación de locales extremo por derivados

Question

1. Segunda derivada de la pruebaen Wikipedia dice que:

   Para una función real de una variable:

   Si la función f es dos veces diferenciable en un punto fijo x, lo que significa que $\ f^{\prime}(x) = 0$ y , a continuación:

   Si $ f^{\prime\prime}(x) < 0$ entonces $f$ tiene un máximo local en $x$. Si $f^{\prime\prime}(x) > 0$ entonces $f$ ha un mínimo local en $x$. Si $f^{\prime\prime}(x) = 0$, el segundo derivado de la prueba no dice nada acerca de la punto de $x$, una posible inflexión punto.

   Para una función de más de una variable:

   Suponiendo que todos los de segundo orden parcial los derivados de la $f$ son continuas en un la vecindad de un punto fijo $x$, entonces:

   si los autovalores de Hesse en $x$ son todas positivas, a continuación, $x$ es un local mínimo. Si los valores propios son todos negativo, $x$ es un máximo local, y si algunas son positivas y otras negativo, entonces el punto es una silla de montar punto. Si la matriz Hessiana es singular, entonces la segunda derivada la prueba no es concluyente.

   Mi pregunta es ¿por qué en el multivariante caso, la prueba requiere las derivadas parciales de segundo orden de $f$ ser continua en un barrio de $x$, mientras que en el de una sola variable caso, no necesidad de la segunda derivada para ser continua alrededor de $x$? Hacer ambas cosas también se requiere que la primera derivada y la función de sí mismo para ser continua alrededor de $x$?

2. Del mismo modo, ¿ primera derivada prueba de $f$ a $x$ necesidad $f$ a ser continua y derivable en un barrio de $x$?
3. Para derivadas de orden superior prueba, no menciona si $f$ es necesario ser continua y diferenciable en un barrio de algunos de punto de $c$ hasta un poco de orden. Así sólo se necesita que el $f$ es diferenciable en $c$ hasta fin de $n$?

Gracias por la aclaración!

Answer 1

Para la pregunta (3), la idea es llevar la expansión de Taylor para ver que tipo de punto crítico es. Si la aproximación de Taylor es $$ f(x + \epsilon) \approx f(x) + C \epsilon^n, \quad 0 \neq C = \frac{f^{(n)}}{n!} $$ then if $n$ is odd, it's not an optimum at all, whereas if it is even, it's a minimum if $C > 0$ and a maximum if $C < 0$ (it's enough to notice that $x^2$ has a minimum at $0$). In order for the Taylor approximation to work, you need the $n+1$ derivative of $f$ to be continuous, to ensure that the remainder term is continuous in some neighborhood of $x$.

En la práctica, las funciones generalmente son infinitamente diferenciable, entonces usted no debería preocuparse tanto acerca de la existencia de derivados.

Para la pregunta (1), hacemos lo mismo Taylor negocio y obtener una expansión $$f(\vec{x} + \vec{\epsilon}) \approx f(\vec{x}) + \vec{\epsilon}' \nabla f(\vec{x}) + \frac{1}{2} \vec{\epsilon}' Hf(\vec{x}) \vec{\epsilon}, $$ donde $\nabla f$ es el gradiente y $Hf$ es el de Hesse, la matriz de las segundas derivadas. Si $Hf(\vec{x})$ es positiva definida con menor autovalor $\lambda > 0$, luego $$\vec{\epsilon}' Hf(\vec{x}) \vec{\epsilon} \geq \lambda \|\vec{\epsilon}\|^2, $$ and we get a minimum (since the error is $O(\|\vec{\epsilon}\|^3)$).

Algunos funky matemáticas permite de alguna manera a deducir de todo esto aún sin tener el extra derivado de la requerida para tener un almacén de Taylor resto término, pero no me preocupe demasiado acerca de él.

Answer 2

Para tu segunda pregunta: Sí: usted necesita la derivada de $f$ a definirse en una punción barrio de $x$ para la primera derivada de la prueba de sentido: lo que necesita saber el signo de $f'$ a $(x-\delta,x)$ y en $(x,x+\delta)$ para algunos $\delta\gt 0$ a ser capaz de aplicar la prueba; esto automáticamente se requiere continuidad, así como en los intervalos. Y por supuesto, si $f$ no es continua en $x$, entonces usted no puede derivar una conclusión sobre el valor de $f$ a $x$. Tomar $$f(x) =\left\{\begin{array}{ll} -x & \mbox{if %#%#%,}\\ \frac{1}{2} & \mbox{if %#%#%,}\\ x+\frac{3}{4} & \mbox{if %#%#%.} \end{array}\right.$$ Entonces la derivada es negativa en $x\lt 0$, y positivo en $x=0$; no se ha definido en $x\gt 0$. Pero $(-\infty,0)$ no tiene ni un local máximo ni un mínimo local en $(0,\infty)$.

De hecho, la Primera Derivada de la Prueba generalmente se indica para las funciones que son continuas.

Answer 3

En realidad, la continuidad de los parciales no es necesario, dos veces el total de la diferenciabilidad en el punto es suficiente, por lo que el uno y el de las dimensiones superiores de los casos son totalmente análoga. Pero la existencia de la segunda orden parciales es insuficiente por dos veces el total de la diferenciabilidad, por lo que el estado de Hesse no es necesariamente el segundo total de derivados sólo porque la segunda parciales existen y usted puede calcular el estado de Hesse. Pero su continuidad es una simple condición suficiente para el doble de la diferenciabilidad.

Answer 4

Aquí un poco handwaving respuesta a la pregunta (1): Para comprobar si $f(a,b)$ es un mínimo local, desea comparar el valor de $f(a+h,b+k)$ para el valor de $f(a,b)$. El$x$,- derivados de a $(a,b)$ a decir algo acerca de cómo $f(a+h,b)$ compara a $f(a,b)$, pero, a menos que usted asuma la continuidad, la $y$,- derivados de a $(a,b)$ no le dicen nada acerca de cómo $f(a+h,b+k)$ compara a $f(a+h,b)$ (ya que la comparación implica la $y$-derivados en el punto de $(a+h,b)$ más que en $(a,b)$).