La clase de los conjuntos de un determinado cardinalidad infinita

Question

Esta pregunta fue inspirado por la pregunta sobre ejemplos de clases que no son conjuntos.

A partir de la discusión en los comentarios, no, parece que no existe un conjunto de todos los conjuntos de un determinado cardinalidad.

Para mí, parece fácil ver que esto es cierto para cualquier valor distinto de cero cardinalidad finita $n$. Dado cualquier conjunto $x$, siempre puedes hacer un conjunto de tamaño $n$ mediante la adición de $n-1$ otros conjuntos de a $x$ hacer un conjunto de tamaño $n$, que existe por el uso repetido de la vinculación axioma.

Pero, ¿cómo harías esto por infinito cardinalidades? Por suponga $\kappa$ es determinado infinito de cardinalidad. Para mostrar que el conjunto de todos los conjuntos de cardinalidad $\kappa$ no existe, parece que usted tiene que demostrar que para cualquier conjunto $x$, existe un grupo de ese tamaño con $x$ como un elemento y, a continuación, usted podría tomar la unión de ese conjunto para encontrar el conjunto de todos los conjuntos, y por lo tanto una contradicción. Pero no parece razonable decir simplemente, para un conjunto dado de tamaño $\kappa$ si $x$ está en el conjunto, no tenemos ningún problema. Si no, acaba de tomar un elemento del conjunto y poner $x$ en. Algo acerca de que parece que no sería permitido.

Entonces, ¿cómo harías esto por infinito cardinalidades?

Answer 1

Supongamos que existe un conjunto $x$ cuyos elementos son precisamente los conjuntos de tamaño $\kappa$. Vamos a definir una función de $f$ dominio $x$ cuyo rango es el universo, $V$ de todos los conjuntos. Ya que este último es conocido por no ser un conjunto (y las funciones de mapa de conjuntos de conjuntos---este es el axioma de reemplazo), se deduce que el $x$ sí no puede ser un conjunto cualquiera.

Fijar un conjunto $Y$ del tamaño de la $\kappa$. Dado un conjunto $a\in x$, vamos a $f(a)=0$, a menos que exista un conjunto $z$ tal que $a=\{(b,z)\mid b\in Y\}$, en cuyo caso se establezca $f(a)=z$. Esta $f$ obras.

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Permítanme añadir: El universo $V$ de los juegos pueden ser vistos como "construido por etapas". Más precisamente, $$V=\bigcup_{\alpha\in ORD}V_\alpha,$$ where the set $V_\alpha$ is obtained by iterating the power set operation $\alpha$ times, starting with the empty set, and $ORD$ is the (proper) class of all ordinals. The details do not matter much right now. The point is that something is a set if it appears at some stage $V_\alpha$ of the construction, and a set cannot appear until all its elements do (i.e., the stage $\alpha$ at which a set $t$ appears is larger than any stage $\beta$ at which an element of $t$ aparece).

Pero algo así como "la colección de todos los conjuntos de tamaño $\kappa$" no puede aparecer en cualquier etapa de la $V_\alpha$, ya que siempre se puede construir un conjunto de tamaño $\kappa$ con $V_\alpha$ como uno de sus elementos, obligando a aparecer en una etapa de más de $\alpha$. En general, se puede comprobar si una colección es un conjunto o una clase adecuada comprobando si contiene conjuntos que aparecen en arbitrariamente grandes etapas (clase adecuada) o, en su lugar, todos sus elementos aparecen por alguna etapa $\alpha$ (set).

Esto sugiere la heurística que una clase adecuada debe ser tan grande como el universo, o al menos, tan grande como la clase ORD de todos los ordinales. Esto, sin embargo, es independiente de la habitual de los axiomas de la teoría de conjuntos. (Un problema adicional que aparece aquí, dado que la norma de la presentación de la teoría de conjuntos no el tratamiento adecuado de las clases de objetos, de modo que uno no puede ni siquiera hacer la declaración de "todo correcto clases tienen el mismo tamaño". Pero hay maneras de superar este obstáculo.)