Se sabe que las componentes conectadas de un espacio topológico son cerradas, y que las componentes conectadas del camino (pcc) no tienen por qué ser cerradas, lo que me preguntaba es si las pcc son siempre conjuntos de Borel, es decir, las pcc pertenecen todas al $\sigma$ -álgebra genera por la topología.
Respuesta
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Adam Malter
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No. Por ejemplo, dejemos que $I=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ y que $A\subset I$ sea cualquier conjunto no Borel. Sea $B\subset\mathbb{R}^2$ sea la unión de los segmentos de línea que conectan $(0,1)$ a cada punto de $A\times\{0\}$ y los segmentos de línea que conectan $(0,-1)$ a cada punto de $(I\setminus A)\times\{0\}$ . Entonces $B$ tiene dos componentes de trayectoria, la unión $C$ de todos los segmentos de línea de $(0,1)$ y la unión $D$ de todos los segmentos de línea de $(0,-1)$ . Si $C$ fueron Borel en $B$ entonces su intersección con $I\times\{0\}$ sería Borel en $I\times\{0\}$ . Pero esa intersección es sólo $A\times\{0\}$ que no es de Borel.
