Resolución de una integral definida: a la manera de Feynman

Question

$ \displaystyle \int_0^\infty \dfrac{\cos xdx}{1+x^2} $

¿Cómo calcular lo anterior utilizando la diferenciación bajo el signo integral?

Answer 1

Introducir la función $$L(s) = \int_{0}^{\infty}\frac{\cos(x)}{1+x^{2}}\,e^{-sx}\, dx$$ para $s\geq 0$

Efectivamente, se puede demostrar que está bien definido y es legítimo diferenciar bajo el signo integral (al menos para $s>0$ ). Al hacerlo, obtendrá $$L''(s)= \int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}\cos(x)}{1+x^{2}}\,e^{-sx}dx= \int_{0}^{\infty}\cos(x)\,e^{-sx}dx-L(s)$$

Por lo tanto, es posible que desee resolver el PIV $$\left\{L''(s)+L(s) = \frac{s}{1+s^{2}} \, \,, \,\lim_{s \rightarrow \infty}L(s)=0 \, \,, \, \, \lim_{s\rightarrow \infty}L'(s)=0\right\}$$

Sinceramente creo que esta vía es mucho más complicada que la de los residuos, ya que nos vemos obligados a trabajar con un problema global para obtener información en un punto local $s=0$ es decir, buscar una solución a una EDO para $s\geq 0$ sólo para encontrar $L(0)$

Answer 2

Otra forma es observar que, si ponemos $$I\left(a\right)=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin\left(ax\right)}{x\left(1+x^{2}\right)}dx,\,a>0$$ tenemos $$I'\left(a\right)=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos\left(ax\right)}{1+x^{2}}dx $$ y ahora sigue esta respuesta para encontrar $$I\left(a\right)=\frac{\pi}{2}\left(1-e^{-a}\right)$$ y así $$\lim_{a\rightarrow1}I'\left(a\right)=\frac{\pi }{2e}.$$