Para el complejo $z$, $|z| = 1 \implies \text{Re}\left(\frac{1-z}{1+z}\right) = 0$

Question

Si $|z|=1$, muestran que: $$\mathrm{Re}\left(\frac{1 - z}{1 + z}\right) = 0$$

Pensé que para $z = x + iy$, $\sqrt{x^2 + y^2} = 1\implies x^2 + y ^2 = 1$ y pensó que la parte real sería:

$$\frac{1 - x}{1 + x}$$

He intentado una serie de manipulaciones de la ecuación pero no podía llegar en cualquier punto donde podía vincular los dos para mostrar que la parte real es = 0.

Answer 1

El método fácil para hacer este tipo de ejercicio es el aviso de que $Re(z)=0$ si y sólo si $z=-\overline z$. Observe que si $|z|=1$$\overline z=\frac{1}{z}$.

En su caso $$ \overline{\left(\frac{1-z}{1+z}\right)}=\frac{1-\overline z}{1+\overline z}=\frac{1-\frac{1}{z}}{1+\frac{1}{z}}=\frac{z-1}{1+z}=-\frac{1-z}{1+z}$$

Generalmente, la sustitución de la forma algebraica $z=x+iy$ hace las cosas mucho más complicado en este tipo de problemas. En primer lugar usted debe tratar de aplicar el estándar de los resultados del caso general, tales como $|z|^2=z\overline z$ o $z \in \Bbb{R}$ si y sólo si $z=\overline z$, etc.

Answer 2

Deje $z=a+bi$ donde$a^2+b^2=1$$z\neq -1$. Entonces $$\begin{eqnarray} \Re\left(\frac{1-z}{1+z}\right) &=&\Re\left(\frac{(1-z)\overline{(1+z)}}{|1+z|^2}\right)\\ &=&\Re\left(\frac{(1-a-bi)(1+a-bi)}{(a+1)^2+b^2}\right)\\ &=&\Re\left(\frac{1-(a^2+b^2)-2bi}{(a+1)^2+b^2}\right)\\ &=&\Re\left(\frac{-2bi}{(a+1)^2+b^2}\right)=0\end{eqnarray}$$

Answer 3

Ya que estamos a la adición de varias pruebas, aquí hay dos más.

1) prueba Geométrica.

$\displaystyle z$ corresponde al punto de $\displaystyle B$. $\displaystyle 1+z$ corresponde a $\displaystyle H$$\displaystyle 1-z$$\displaystyle G$.

$\displaystyle ACGD$ $\displaystyle ADHB$ son rhombii, con $CD$ paralelo a $\displaystyle AH$. En rhombii las diagonales se cortan en ángulos rectos, y por lo $\displaystyle AG$ es perpendicular a $\displaystyle AH$.

Por lo tanto $\displaystyle \frac{1-z}{1+z} = ci$ algunos $\displaystyle c$.

2) el Uso de vectores.

Nos referimos a la figura de arriba.

$\displaystyle H = (1+\cos \theta, \sin \theta)$.

$\displaystyle G = (1- \cos \theta, -\sin \theta)$.

Su producto escalar = $\displaystyle (1 + \cos \theta)(1- \cos \theta) - \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 0$

Por lo $\displaystyle \vec{AH}$ $\displaystyle \vec{AG}$ son perpendiculares.

Por cierto, lo contrario también es cierto:

Si $\displaystyle \text{Re}\left(\frac{1-z}{1+z}\right) = 0$,$\displaystyle |z| = 1$.

Answer 4

Sugerencia $\: $ darse cuenta de que el denominador produce una puramente imaginario numerador, es decir,

$$\displaystyle\ z\bar z\: =\: 1\ \:\Rightarrow\:\ \frac{(1-z)\:(1+\bar z)}{(1+z)\:(1+\bar z)}\: =\: \frac{\bar z-z}{|1+z|^2}\: =\: \frac{r\:i}{s},\ \ r,s\in \mathbb R$$

Nota $\ $ Este es un ejemplo de la poderosa método de racionalización de denominadores para simplificar la aritmética de los números algebraicos o funciones. Generalmente, $\rm F$-racionalizar significa obligar a un elemento de la base del anillo de $\rm F$ de los algebraica de extensión, que clásicamente se $\mathbb Q = $ racionales. Tenemos encima el anillo de la base $\rm F =\mathbb R\subset \mathbb R[{\it i}] = \mathbb C,\:$ para racionalizar significa darse cuenta.

Answer 5

Quiero señalar que el problema de tu planteamiento es que, en general,

$$\mathrm{Re}\left(\frac{1-z}{1+z}\right) \ne \frac{1-\mathrm{Re}(z)}{1+\mathrm{Re}(z)}.$$

En otras palabras, sólo porque hay una Re en la parte izquierda de la ecuación no significa que usted puede reemplazar una variable compleja $z$ con su parte real $x$; que es equivalente a cambiar el orden de evaluación de dos funciones compuestas (como en $f\circ g$ vs $g\circ f$, aquí con $f=\mathrm{Re}$$g(z)=\frac{1-z}{1+z}$).

El enfoque general que quiere tomar la sustitución de $z$$x+yi$, a continuación, tratando de obtener toda la cosa en el interior de la parte real en la forma $\text{blah}_1+\text{blah}_2i$, donde ambos se $\text{blah}$s son totalmente reales, por lo que sólo puede cortar las $\text{blah}_2$ al finalizar la evaluación. Con frecuencia, este proceso implica golpeando el conjugado $x-yi$ en alguna parte para hacer que las cosas reales.