Mostrando $a^n + b^n \ge (a+b)^n$ para $a,b > 0$ y $0 \le n \le 1$

Question

Inicialmente tuve que demostrar que para $0\le n \le 1$ y $a,b > 0$:

$$a^n + b^n \ge (a+b)^n$$

Hice $u(x) = a^x + b^x - (a+b)^x$

$$u'(x) = a^x \log a + b^x \log b - (a+b)^x \log (a+b)$$

Ahora estoy atascado. No puedo encontrar hacia dónde ir. Por favor, ayúdame.

Answer 1

Esta es una simple desigualdad una vez que se ve que es homogénea en $a, b$. Dividiendo ambos lados por $(a+b) ^{n}$ podemos ver que reduce el problema al caso cuando $a+b=1$. Y entonces tenemos $0

Answer 2

Ten en cuenta que esto es equivalente a $$1 + \left(\frac{b}{a}\right)^n \geq \left(1 + \frac{b}{a}\right)^n$$ así que basta con mostrar $1 + t^x \geq (1+t)^x$ para $x \in [0, 1]$ y $t \geq 0.

Considera $$f(t) = 1+t^x - (1+t)^x,$$ entonces $$f'(t) = x t^{x-1} - x(1+t)^{x-1} = x(t^{x-1} - (1+t)^{x-1}).$$

Pero, $$t < 1+t \Rightarrow (1+t)^{x-1} \leq t^{x-1},$$ dado que $x \leq 1$.

Por lo tanto, $f'(t) \geq 0$ y $f(t)$ es una función creciente. Pero ten en cuenta que $f(0) = 0$, así que $f(t) \geq 0$ para todo $t \geq 0$.