El conjunto de Cantor es cerrado en $[0,1]$ y por lo tanto su complemento en $[0,1]$ debería ser una unión contable de intervalos abiertos. Además, cada conjunto abierto que contiene un punto en el conjunto de Cantor contiene un punto que no está en el conjunto de Cantor. ¿No nos da esto una correspondencia entre puntos finales de nuestros intervalos abiertos y elementos del conjunto de Cantor, contradiciendo la contabilidad? ¿Dónde está fallando este argumento?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No todos los puntos del conjunto de Cantor son puntos finales de un intervalo de su complemento.
Pero estos puntos finales de estos intervalos son densos en $C$, y aunque son numerables, su cierre es no numerable.
Hay una buena manera de convencerte de esto. Si expresas los elementos de $[0,1]$ en el sistema ternario, es decir, $$ x=\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{3^n},\,\,a_n\in\{0,1,2\}, $$ entonces el conjunto de Cantor contiene exactamente aquellos elementos en los cuales $a_n\in\{0,2\}$, para todo $n\in\mathbb N$. Los puntos finales de los intervalos del complemento contienen exactamente aquellos puntos donde $a_n=0$ o $2$, pero solo hay finitos $0$'s o finitos $2$'s. Por ejemplo $$ \frac{1}{3}=.02222\ldots,\,\,\,\frac{2}{3}=.20000\ldots,\frac{1}{9}=.00222\ldots, \frac{2}{9}=.02000\ldots,\frac{7}{9}=.20222\ldots,etc. $$ Y los elementos con solo $0$'s y $2$'s en su expansión ternaria son tantos como los números reales, mientras que aquellos con solo finitos $2$'s son numerables.
Michael Hardy
Puntos
128804
No: La mayoría de los puntos en el conjunto de Cantor no son puntos finales de tercios centrales eliminados.
Por ejemplo, el número $1/4$ es un miembro del conjunto de Cantor. Está en el tercio más bajo, y en el tercio más alto de ese, y en el tercio más bajo de ese, y en el tercio más alto de ese, y así sucesivamente, alternando. El número $3/10$ también está en el conjunto de Cantor, con un patrón de repetición más complicado de superior e inferior.
Patrones terminantes (todos superiores o todos inferiores después de algún número de pasos) te dan esos puntos finales;
patrones repetidos te dan solo muchos más puntos que no son puntos finales.
Son los que no repiten los que te dan incontables más.
