... el propósito de la adimensionalización es "colapsar" las soluciones en una curva para que el espacio de soluciones pueda ser explorado con menos parámetros.
Ese es uno de los "propósitos" de la adimensionalización; otros dos son la identificación de las escalas características de longitud, velocidad, presión, etc. y el análisis de la ecuación bajo diferentes regímenes, en este caso $\mathrm{Re}\ll1$ (dominado por la viscosidad) y $\mathrm{Re}\gg1$ (dominado por la convección).
Las escalas de longitudes características son las escalas del sistema que caracterizan de forma única la dinámica, de forma que todos los términos de las ecuaciones (incluidas las condiciones iniciales/de frontera) son $O(1)$ o más pequeño. Ha elegido un conjunto de escalas con las que adimensionaliza la ecuación, pero ¿son escalas características? Pues vamos a ponerlo a prueba.
En primer lugar, considere el régimen dominado por la convección para el que se determina:
$$\partial_t u_i + u_j \partial_j u_i = -\partial_i p + \mathrm{Re}^{-1} \partial_{jj} u_i, \qquad \qquad \qquad \text{using convective time scale}$$
En este régimen, $\mathrm{Re}\gg1$ y suponiendo que el escalado se haya hecho correctamente, es decir, que todas las variables no dimensionales sean $O(1)$ entonces vemos que todos los términos son $O(1)$ o menor (ya que $O(\mathrm{Re}^{-1})\ll O(1)$ ). Esto indica que el escalado se hizo correctamente y que las escalas son las características en este régimen. Dado que el término viscoso es despreciable en comparación con el término convectivo, se nos permite prescindir completamente de él. Nótese que el término de presión es del mismo orden que el término convectivo; el gradiente de presión debe ser siempre del mismo orden que el término dominante en la ecuación para equilibrar los términos.
Consideremos ahora el régimen viscoso donde $\mathrm{Re}\ll1$ se encuentra (después de dividir por $\mathrm{Re}^{-1}$ ):
$$\partial_t u_i + \mathrm{Re} u_j \partial_j u_i = - \mathrm{Re} \partial_i p + \partial_{jj} u_i, \qquad \qquad \text{using diffusive time scale}$$
Vemos aquí que de nuevo todos los términos son $O(1)$ o menor (ya que $O(\mathrm{Re})\ll O(1)$ ). En este régimen, podemos despreciar los términos convectivos ya que los términos viscosos son dominantes. Sin embargo, aparentemente también es despreciable el gradiente de presión que, de hecho, debería ser del mismo orden que los términos viscosos. Esto indica que el escalamiento propuesto en este régimen no es correcto.
Para resolver este problema es necesario reescalar la escala de presión. Reescalemos $[p]^* = \mathrm{Re}^{\alpha}[p]$ donde $\alpha$ es una constante a determinar. Sustituyendo en las ecuaciones se obtiene:
$$\partial_t u_i + \mathrm{Re} u_j \partial_j u_i = - \mathrm{Re}^{1+\alpha} \partial_i p^* + \partial_{jj} u_i, \qquad \qquad \text{using diffusive time scale}$$
Para que el gradiente de presión sea del mismo orden que los términos viscosos, requerimos $1+\alpha=0$ o $\alpha=-1$ . Entonces obtenemos:
$$\partial_t u_i + \mathrm{Re} u_j \partial_j u_i = - \partial_i p^* + \partial_{jj} u_i, \qquad \qquad \text{using diffusive time scale}$$
y la escala de presión se reescaló a $[p]^* = \mathrm{Re}^{-1}[p] = \frac{\mu U}{L}$ que es claramente una escala de presión viscosa como se desprende de la presencia de la viscosidad $\mu$ . Esto contrasta con la escala de presión original $[p] = \rho U^2$ que claramente no contiene una viscosidad y sólo era apropiado en el régimen convectivo $\mathrm{Re}\gg1$ . Por lo tanto, podemos referirnos a ella como una escala de presión convectiva.
Para terminar de responder a sus preguntas:
- Porque las ecuaciones sólo son válidas para dos regímenes diferentes según su elección de escalas, $\mathrm{Re}\ll1$ y $\mathrm{Re}\gg1$ .
- La única solución "relacionada" se encontrará para $\mathrm{Re}=1$ De lo contrario, las soluciones serán completamente diferentes. De hecho, las soluciones analíticas generalmente sólo son posibles para $\mathrm{Re}\ll1$ porque las ecuaciones se vuelven lineales. Para $\mathrm{Re}\gg1$ Las ecuaciones son altamente no lineales, por lo que sólo es posible obtener soluciones numéricas.
- No, véase la respuesta a la pregunta 2.
