"Invariantes" de esferas Exóticas

Question

Una exótica esfera es una variedad diferenciable M es homeomórficos pero no diffeomorphic a la norma Euclidiana n-esfera.

1. Ingenuamente, pensé que no hay ningún algebraicas invariantes topológicos que la distinción de las esferas exóticas de cada uno de los otros (?). Por ejemplo, hay una integración local cantidades en la diferenciable colectores que pueden distinguir exóticas esferas?

(por ejemplo, no creo que hay ninguna característica de las clases, homotopy o co/homología de grupos, o co/bordism puede distinguir o exóticas esferas de la misma dimensión. Sí?)

2. Sin embargo, parece que podemos construir exóticas esferas como la no-trivial de los elementos de la abelian monoid bajo conectado suma, que es finita grupo abelian si la dimensión no es de 4.

   • El hecho de 1 parece haber algo de tensión, si no contradice a la realidad 2. Porque el hecho de que 2 de los abelian monoid / estructura de grupo parece insinuar que hay algunos algebraicas topológico cantidades como "invariantes topológicos" que puede distinguir exóticas esferas. Sí o no?

   • Por otra parte, existen los llamados Kervaire, Kervaire-Milnor invariantes, Kervaire invariante problema y el de Kirby–Siebenmann invariante. Son estas cantidades como invariantes de exóticos esferas topológicamente? En el sentido de que, podemos obtener los datos topológicos (global) de integración en el local de la cantidad? (Análoga a la característica de clases?)

   • En definitiva, son "invariantes" de esferas Exóticas más de las cantidades de los puntos (a) o diferencial (b) topológico?

Answer 1

Hay algunos "topológico" invariantes que sólo se conservan por diffeomorphisms, no general homeomorphisms; tomar la mayor (integral) Pontryagin clases, por ejemplo. Más generalmente, uno puede, por ejemplo, tratar de pegar un buen invariantes a la tangente del paquete de un buen colector (y suavidad ni siquiera es un invariante topológico) y demostrar que se diferencian por los colectores. Considere, por ejemplo, una cerrada, simplemente conectado, liso $4$-colector $X$. Si $w_2(X)$ desaparece, entonces Rokhlin del teorema de las fuerzas de $\frac{1}{16}\sigma(X)$ a de ser integral, donde $\sigma(X)$ es la firma de $X$. El $E_8$ colector está cerrada y simplemente-conectado, pero ha $\sigma(E_8) = 8$, por lo que no smoothable.

Para otro ejemplo de cómo este tipo de prueba funciona en la práctica, Milnor del papel en la primera exóticas $S^7$ utiliza el espacio total $E(\xi)$ de un paquete de $S^3 \to \xi \to S^4$. En breve, la prueba es:

(1) Construir un paquete de $\xi = \xi_{h, j} \to S^4$ adjuntando el trivial haces sobre cada esfera a través del mapa de $f(u, v) = u^h v u^j$. (Tenga en cuenta que $S^3$ es un grupo).

(2) Calcular el Pontryagin clase $p_1(\xi) = \pm 2 (h -j)$. (Esto es más fácil de lo que parece, ya que hemos explícito de transición de funciones.)

(3) Para los impares $k$, vamos a $M_k$ el valor del $7$-colector $E(\xi_{(k+1)/2, -(k-1)/2})$. Tenga en cuenta que $M_k$ es suave más o menos por la construcción, y el uso de la teoría de Morse para mostrar que $M_k$ es homeomórficos a $S^7$.

(4) Definir un suave invariante $\lambda(M_k)\in \mathbb{Z}_7$. Esta es la parte difícil, aunque se centraron casi exclusivamente en el carácter de clase de la teoría una vez que sabemos que $M_k$ límites. El invariante se define en términos de una cierta Pontryagin clase, que es un buen invariables, pero no un homeomorphism invariante. (Que es en definitiva por qué tenemos un invariante definido mod 7; la racional Pontryagin clases son homeomorphism invariantes.)

(5) Muestran que si $\lambda(M_k)\not = 0$,, a continuación, $M_k$ no es diffeomorphic a $S^7$. Esta parte es realmente fácil, una vez que el invariante está bien definido.

(6) Calcular $\lambda(M_k) = k^2 - 1\in \mathbb{Z}_7$.

El invariante $\lambda(X)$ por encima suena como el tipo de cosa que usted está buscando, pero solo es invariante bajo diffeomorphisms (como es una función de la tangente del paquete de más de $X$). Hay más exóticos construcciones, como Reidemeister de torsión y el Casson invariante, que son algebraica topología invariantes de fino, o de más de una estructura específica que sólo el habitual homotopy equivalencia de CW-complejos; pero esa es la idea general.