Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva dada $(x,y)$ punto.
$$r=1-2\sin(\theta )$$ at $(0,0)$. No estoy seguro de cómo ir sobre encontrar la recta tangente. Necesito convertir de polar a rectangular?
Gracias!
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Johannes
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Sugerencia: Usted sabe que mediante el uso de la regla de la Cadena y que $y=r\sin(\theta),~~x=r\cos(\theta)$, tenemos $$m_{\text{tangent}}=\frac{r'\sin(\theta)+r\cos(\theta)}{r'\cos(\theta)-r\sin(\theta)}$$ So find the coordinates of point in polar coordinates and then write the line equation using $m$ anterior.
Para coordenadas polares , $x=r\cos\theta\implies dx=\cos\theta dr-r\sin\theta d\theta$
$y=r\sin\theta\implies dy=\sin\theta dr+r\cos\theta d\theta$
Por eso, $$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin\theta dr+r\cos\theta d\theta}{\cos\theta dr-r\sin\theta d\theta}$$
Ahora, en $(0,0)$, $r=0\implies \sin\theta=1/2\implies \tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}$ que da $$\frac{dy}{dx}=\tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}$$
Así, las ecuaciones de las tangentes se $y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x$
Nathan Gathright
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Pawel
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Vamos a utilizar el polar de la forma de la pendiente, que puede ser derivada usando la regla del producto de la siguiente manera: $$\frac{dy}{dx}=\frac{d(r\sin\theta)}{d(r\cos\theta)}=\frac{r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta}$$
Ahora desde $r(\theta)=1-2\sin\theta$, tenemos $r'(\theta)=-2\cos\theta$, por lo que nuestra inclinación se convierte en: $$\frac{dy}{dx}=\frac{\cos\theta-4\sin\theta\cos\theta}{2\sin^2\theta-2\cos^2\theta-\sin\theta}=\frac{\cos\theta-2\sin2\theta}{4\sin^2\theta-\sin\theta-2}$$ Ahora $(0,0)$ corresponde a los ángulos $\theta=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$, y de conectar estos da en dos vertientes: $$m=\frac{\sqrt{3}}{3},\;\frac{-\sqrt{3}}{3}$$ correspondiente a las líneas $$y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$$
