Un Fantabulous entero es un número entero, el cual tiene otro fantabulous entero más pequeño de lo que

Question

BdMO problema de 2013-7:

Un número entero positivo se llama "Fantabulous" si hay otro fantabulous entero positivo más pequeño que él. Encontrar el número de fantabulous enteros.

Estoy embaucar a esta pregunta.Sin embargo:1 no puede ser un fantabulous entero ya que no tiene ningún número entero positivo más pequeño que él.Pero 2 no es una fantabulous entero,ya que sólo tiene un número entero menor que sí mismo,y que es 1.Pero sabemos que 1 no es un fantabulous integer.By similar razonamiento,podemos demostrar que no fantabulous entero existe.Se demuestra que la instrucción anterior a través de la contradicción.

PRUEBA: Vamos a $F$ el conjunto de fantabulous enteros.Suponga que F es non-empty.By principio de buena ordenación,existe un entero más pequeño $f$ en el conjunto.Pero, por definición,existe una menor fantabulous entero en el mismo conjunto,contradiciendo nuestra afirmación de que $f$ es el más pequeño de fantabulous entero.Por lo tanto no fantabulous entero existe.

Estoy en lo cierto?También,si alguien encuentra cualquier etiqueta,siéntase libre de editar.

Answer 1

Un número entero positivo se llama "Fantabulous" si hay otro fantabulous entero positivo más pequeño que él. Encontrar el número de fantabulous enteros.

Abajo está la prueba de este teorema,copiado de mi pregunta[Créditos a Prahlad Vaidyanathan para la verificación de esta prueba y Hagen Von Eitzen para una corrección]

PRUEBA: Vamos a $F$ el conjunto de fantabulous enteros.Suponga que F es non-empty.By principio de buena ordenación,existe un entero más pequeño $f$ en el conjunto.Pero, por definición,existe una menor fantabulous entero en el mismo conjunto,contradiciendo nuestra afirmación de que $f$ es el más pequeño de fantabulous entero.Por lo tanto no fantabulous entero existe,lo que implica que $F$ está vacía.

Q. E. D

El hecho de que no fantabulous entero existe también puede ser probado a través de la inducción[créditos a N. S. y brusko651]

CASO BASE: 1 no es fantabulous porque no hay ningún número entero positivo menor que 1 existe.2 no es un fantabulous entero,ya que el único entero positivo menor que 1,lo cual no es fantabulous.

INDUCTIVO PASO: Supongamos $n$ no es un fantabulous entero.Podemos demostrar que $n+1$ no es un fantabulous entero.

Si $n+1$ es fantabulous,entonces, por definición,no debe existir otro número entero menor que $n+1$ que es fantabulous.El mayor entero positivo menor que $n+1$ n.Pero sabemos que $n$ no es un fantabulous entero,y de que,de ello se sigue que no fantabulous entero menor que $n$ e lo $n+1$ puede existir.Por lo tanto $n+1$ no es un fantabulous entero.

Q. E. D