Función holomórfica tal que$f(2z)=f(z)$

Question

¿Existe una función holomórfica en$D(0,1)$ tal que para todos$z\in D(0,1/2)$$f(2z)=f(z)$

Iterando tenemos$f(1/2)=f(2\cdot\frac1{4})=f(\frac1{4})=\cdots=f(\frac1{2^n}).$

Por continuidad debemos tener$f(\frac1{2})=f(0)$ para que cuando escriba$f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k,$ tengamos:

$$a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{4}+\cdots+\frac{a_n}{2^n}+\cdots=a_0$$ so that $ a_k = 0$ for all $ k \ ge 1$, so f must be constant egual to $ a_0. $

Es eso correcto ?

Answer 1

Directamente de la potencia de la serie: $$\sum_{n=0}^\infty a_nz^n = \sum_{n=0}^\infty a_n(2z)^n = \sum_{n=0}^\infty 2^na_nz^n.$$ Por la singularidad de los coeficientes de $$\forall n\in\Bbb N:\ a_n = 2^n a_n,$$ y esto implica $a_n = 0$ para $n\ge 1$.

Answer 2

De $f(2z)=f(z)$ para $|z|<1/2$, podemos ver , por inducción:

$2^n f^{(n)}(2z)=f^{(n)}(z)$ para $|z|<1/2$ e de $ n \ge 1$. De ello se desprende que $f^{(n)}(0)=0$ para $ n \ge 1$.

El poder de expansión de la serie de $f$ todo $0$ muestra ahora que $f$ es constante en $D(0,1/2)$.

Por el teorema de identidad, $f$ es constante 0n $D(0,1)$.

Answer 3

Como se observa: $f(1/2^n) = f(0), n = 1,2, \dots$ Lo $f,$ que es holomorphic en $D(0,1),$ es igual a $f(0)$ sobre un conjunto de $D(0,1)$ con límite de punto en $D(0,1).$ Por el principio de identidad, $f\equiv f(0)$ en $D(0,1).$