Cómo mostrar si$|a_{n+1} - a_{n}| \le \frac{1}{2^n}$ entonces la secuencia es Cauchy.

Question

Deje que$\{a_n\}$ sea una secuencia de números reales tales que$|a_{n+1} - a_n| \le \dfrac{1}{2^n}$. Me gustaría mostrar que esta secuencia es Cauchy.

Dejando a$\epsilon > 0$, dije que elegir$N$ tal que$1/2^N \le \epsilon$. Sin embargo, no estoy seguro de si este es el correcto$N$, ya que$m, n > N$ no parece implicar necesariamente$|a_n - a_m| \le \epsilon$.

¿Puede alguien mostrarme la luz?

Answer 1

Aplicar la desigualdad del triángulo repetidamente. Si$n,m>N$, podemos asumir WLOG que$m>n$ y tenemos $$ \begin{align} |a_m-a_n|&\leq |a_{n+1}-a_n|+|a_{n+2}-a_{n+1}|+\cdots+|a_m-a_{m-1}|\\ &\leq \frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}+\cdots+\frac{1}{2^{m-1}}\\ &< \sum\limits_{k=n}^\infty \frac{1}{2^k}=\frac{1}{2^n}\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2^{n-1}}<\frac{1}{2^{N-1}} \end {align} $$ y al hacer que$N$ sea lo suficientemente grande, tenemos$\frac{1}{2^{N-1}}<\epsilon$.

Answer 2

Insinuación: $\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}+\cdots =\frac{1}{2^{n-1}}$.

Answer 3

deje que$m>n$ entonces tengamos$$\begin{align}|a_m-a_n|&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\dots+|a_{n+1}-a_n|\\&\le \frac{1}{2^{m-1}}+\frac{1}{2^{m-2}}+\dots\frac{1}{2^{n}}\end{align}$ $ ¿qué puede decir sobre esta suma?