Distribución logarítmica utilizando datos agrupados o en binomios

Question

Entiendo los estimadores de máxima probabilidad para mu y sigma para la distribución lognormal cuando los datos son valores reales. Sin embargo, necesito entender cómo se modifican estas fórmulas cuando los datos ya están agrupados o agrupados en binomios (y no se dispone de valores reales). Específicamente, para mu, el estimador mle es la suma de los logaritmos de cada X (dividido por n que es el número de puntos). Para sigma al cuadrado, el estimador mle es la suma de (cada log X menos el mu, al cuadrado); todo dividido por n. (El orden de las operaciones es tomar cada log X menos el mu; al cuadrado eso; sumar eso sobre todos los X; luego dividir por n). Ahora supongamos los datos de las casillas b1, b2, b3, y así sucesivamente, donde b1 a b2 es la primera casilla; b2 a b3 la segunda casilla y así sucesivamente. ¿Cuáles son los mu y sigma modificados al cuadrado? Gracias.

Answer 1

Deje que $\Phi$ ser la función de distribución normal estándar acumulativa. La probabilidad de que un valor $Y$ extraída de una distribución logarítmica normal con media logarítmica $\mu$ y registrar el SD $\sigma$ se encuentra en el intervalo $(b_i, b_{i+1}]$ por lo tanto es

$$\Pr (b_i \lt Y \le b_{i+1}) = \Phi \left ( \frac { \log (b_{i+1}) - \mu }{ \sigma } \right ) - \Phi \left ( \frac { \log (b_{i}) - \mu }{ \sigma } \right ).$$

Llama a este valor $f_i( \mu , \sigma )$ .

Cuando los datos consisten en sorteos independientes $Y_1,Y_2, \ldots , Y_N$ con $Y_i$ cayendo en la basura $j(i)$ y los puntos de corte del contenedor se establecen independientemente de la $Y_i$ las probabilidades se multiplican, de donde la probabilidad logarítmica es la suma de los logaritmos de estos valores:

$$\log ( \Lambda ( \mu , \sigma )) = \sum_ {i=1}^{N} \log (f_{j(i)}( \mu , \sigma )).$$

Basta con contar el número de $Y_i$ cayendo dentro de cada cubo $j$ ; que este conteo sea $k(j)$ . Al recoger el $k(j)$ términos asociados con bin $j$ para cada recipiente, la suma se condensa a

$$\log ( \Lambda ( \mu , \sigma )) = \sum_ {j} k(j) \log (f_{j}( \mu , \sigma )).$$

Los EML son los valores $\hat { \mu }$ y $\hat { \sigma }$ que juntos maximizan $\log ( \Lambda ( \mu , \sigma ))$ . No hay una fórmula cerrada para ellos en general: se necesitan soluciones numéricas.

Ejemplo

Considere los valores de los datos que se sabe que sólo se encuentran dentro de los intervalos pares $[0,2]$ , $[2,4]$ etc. Generé al azar 100 de ellos de acuerdo a una distribución Lognormal(0,1). En Mathematica esto se puede hacer a través de

With[{width = 2},
  data = width {Floor[#/width], Floor[#/width] + 1} & /@  
    RandomReal[LogNormalDistribution[0, 1], 100]
];

Aquí están sus cuentas:

Interval Count
 [0, 2]    77
 [2, 4]    16
 [4, 6]     5
 [6, 8]     1
[16,18]     1

Encontrar el MLE para datos como este requiere dos procedimientos. Primero, uno para computar la contribución de una lista de los 100 intervalos a la probabilidad del logaritmo:

logLikelihood[data_, m_, s_] := 
With[{f = CDF[LogNormalDistribution[m, s], #] &},
  Sum[Log[f[b[[2]]] - f[b[[1]]]], {b, data}]
];

Segundo, uno para maximizar numéricamente la probabilidad de logaritmo:

mle = NMaximize[{logLikelihood[data, m, s], s > 0}, {m, s}]

La solución comunicada por Mathematica es

{-77.0669, {m -> -0.014176, s -> 0.952739}}

El primer valor de la lista es la probabilidad de logaritmo y el segundo (evidentemente) da las EML de $\mu$ y $\sigma$ respectivamente. Están cómodamente cerca de sus verdaderos valores.

Otros sistemas de software variarán en su sintaxis, pero normalmente funcionarán de la misma manera: un procedimiento para calcular las probabilidades y otro para maximizar la probabilidad logarítmica determinada por esas probabilidades.