¿Hay un formulario cerrado para$\sup_{f,0\le x\le 1}(1-x)f(x)/\int_0^1f(t)\,\mathrm{d}t$?

Question

Deje que $\mathcal{F}$ sea el conjunto de funciones continuas y estrictamente crecientes de $[0,1]$ a $[0,1]$ con $f(0)=0$ . ¿Hay un formulario cerrado para $$\sup_{f\in\mathcal{F},0\le x\le 1}\frac{(1-x)f(x)}{\int_0^1f(t)\,\mathrm{d}t}?$ $?

Es decir, la relación de la siguiente área oscura al área integral.

Answer 1

Considere la posibilidad de $f(x)=x^{a}$, para $a\in (0,1)$. Entonces $$\sup_{x\in [0,1]}\frac{(1-x)f(x)}{\int_0^1f(t)\,dt}=(a+1)\sup_{x\in [0,1]}(1-x)x^a=\left(\frac{a}{a+1}\right)^a.$$ que va a $1$ como $a\to 0^+$.

Además, para todos los $x\in [0,1]$, y para cualquier estrictamente creciente de las funciones de la $[0,1]$ a $[0,1]$, tenemos que $$\int_0^1f(t)\,dt\geq \int_{x}^1f(t)dt\geq f(x)\int_x^1dt=f(x)(1-x).$$ Así el deseado $\sup$ es $1$. Tenga en cuenta que la condición de $f(0)=0$ es irrelevante.