¿Por qué es$5\tan(54^\circ) = \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}$ y$\tan\left(\frac{\pi}{5}\right) = \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}$?

Question

En la página de Wikipedia sobre Pentágonos , noté una declaración en su trabajo que decía que$\sqrt{25+10\sqrt{5}}=5\tan(54^{\circ})$ y$\sqrt{5-2\sqrt{5}}=\tan(\frac {\pi}{5})$

Mi pregunta es: ¿Cómo justificarías eso? ¡Mi objetivo es simplificar$\sqrt{25+10\sqrt{5}}$ y$\sqrt{5-2\sqrt{5}}$ sin conocer el radical detestado!

Answer 1

Gracias a @N. F. Taussig por señalar algunos errores.

Supongamos que usted tiene un pentágono regular, con vértices $\{A,B,C,D,E\}$ (etiquetados de forma cíclica por lo $A$ es vecino a $B$ e $E$). Tomemos cada lado largo a $1$. Deje $X$ ser la longitud de una diagonal, decir $AC$. Primero vamos a calcular $X$.

Para hacerlo, vamos a $P$ ser la intersección de $AC$ e $BE$. Ahora debemos hacer algunas ángulo persiguiendo: $\angle{BCA}=36=\angle{BAC}$, $\angle{CBP}=72=\angle{CPB}$. $\angle{ABP}=36$. De curso $\Delta BPC$ es isósceles (aunque no similar) y esto implica que $PC$ tiene una longitud de $1$ también vemos que $\Delta ABP$ es isósceles con ángulos $108-36-36$. Por lo tanto es similar a $\Delta ACB$. Similitud, a continuación, nos permite calcular $X$: $$\frac {X-1}1=\frac 1X\implies X^2-X-1=0\implies X=\frac 12(1+\sqrt5)$$

Ahora la caída de la perpendicular de $P$ a $AB$, vamos a $Q$ el valor de sus pies. Claramente $\Delta PAQ$ es un triángulo rectángulo con ángulos $90-36-54$. Sabemos que una de las piernas ($\frac 12$) y la hipotenusa ($\frac 12 (\sqrt 5 -1 )$). Eso basta para resolver el triángulo y le da la respuesta que buscan.

Answer 2

Usted seguramente sabe que $z=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}$ es la raíz en el primer cuadrante de $z^5-1=0$, por lo que satisface $$z^4+z^3+z^2+z+1=0$$ que también puede ser escrito como $$z^2+\frac{1}{z^2}+z+\frac{1}{z}+1=0$$ o, al señalar que $z^2+1/z^2=(z+1/z)^2-2$, $$\left(z+\frac{1}{z}\right)^2+\left(z+\frac{1}{z}\right)-1=0$$ Por lo tanto, $$z+\frac{1}{z}=2\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$ Así $$\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}, \qquad \sin\frac{2\pi}{5}=\sqrt{1-\frac{5-2\sqrt{5}+1}{16}}= \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$$ Ahora uso que $$\tan\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$$ y usted consigue $$\tan\frac{\pi}{5}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{3+\sqrt{5}}= \frac{\sqrt{(10+2\sqrt{5})(3-\sqrt{5})^2}}{4}= \frac{\sqrt{80-32\sqrt{5}}}{4}=\sqrt{5-2\sqrt{5}}$$

Desde $54^\circ=3\pi/10=\pi/2-\pi/5$, tenemos $$\tan\frac{3\pi}{10}=\cuna\frac{\pi}{5}=\frac{1}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}= \sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{25-20}}=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}$$

Answer 3

Como $54\cdot5\equiv90\pmod{180},$

si$\tan5x=\infty,5x=180^\circ n+90^\circ$ donde$n$ es cualquier número entero

$x=36^\circ n+18^\circ$ dónde $n\equiv0,\pm1,\pm2\pmod5$

Usando$\tan5x$ de expansión , las raíces de $$5t^4-10t^2+1=0$$ are $\ tan (36 ^ \ circ n +18 ^ \ circ)$ where $ n \ equiv0, \ pm1,2 \ pmod5 PS

como $n=2\implies\tan(36^\circ n+18^\circ)=?$

PS

Como $$t^2=\dfrac{10\pm4\sqrt5}{2\cdot5}=\dfrac{5\pm2\sqrt5}5$

$\tan54^\circ>\tan18^\circ>0,\tan^254^\circ>\tan^218^\circ,$ y$\tan^254^\circ=\dfrac{5+2\sqrt5}5=\dfrac{25+10\sqrt5}{5^2}$

Para$\tan^218^\circ=\dfrac{25-10\sqrt5}{5^2}$, ¿puedes usar la misma idea?