Ley modular de Dedekind

Question

Ley modular de Dedekind. Si $A,B,C$ son subgrupos de un grupo $G$ con $A \subseteq B$ puis $A(B \cap C) = B \cap AC$ .

Esto es lo que quiero demostrar. Sea K un grupo finito con $K = LH$ , donde $L,H$ son subgrupos de $K$ con pedidos relativamente importantes. Si $U$ es un subgrupo máximo de $L$ puis $UH = HU$ . Prueba:

$HU = HU \cap LH = (HU \cap L)H = (H \cap L)UH = UH$

¿Son ciertas mis pruebas?

Answer 1

Hay un error en tu prueba. Cuando afirmas la regla de Dedekind arriba, asumes $A, B, C$ son subgrupos de un grupo. Entonces, para obtener tu segunda igualdad usando la regla de Dedekind supones $B= HU$ es un grupo, pero eso es lo que está tratando de demostrar. (Recordemos, $UH = HU$ si y sólo si $UH$ es un grupo).