Cokernels - cómo explicar o tener una buena intuición de lo que son o podrían ser

Question

Cuando pienso en los núcleos, tengo muchos ejemplos bien trabajados de la teoría de grupos, anillos y módulos - en las primeras etapas de tratar con objetos matemáticos abstractos parecen aparecer por todas partes, siempre que veo un homomorfismo.

Pero nadie parece mencionar los cokernels hasta que llegas a los diagramas conmutativos y la teoría de categorías. Y entonces pueden ser fácilmente "cosas que hacen que el diagrama funcione" con una intuición limitada o sentido de la realidad útil. [tal vez exagero]

Así que estoy buscando buenos ejemplos para ilustrar lo que es un cokernel, extendiéndolo a ejemplos no triviales [me enseñaron sobre los núcleos de homomorfismos entre los grupos no labiales antes de que nadie me enseñara sobre los módulos].

Answer 1

Deje que $ \phi :A \to B$ ser un homomorfismo donde $A$ y $B$ son sus objetos algebraicos favoritos. Pienso en $ \ker \phi $ como la medición de la medida en que el morfismo $ \phi $ no es inyectable. Es decir, cuanto más "grande" sea el núcleo, más el mapa $ \phi $ difiere de una inyección.

En una línea similar, el núcleo $B /~ \text {im}~ \phi $ mide la medida en que el mapa $ \phi $ difiere de una suposición. Un grano "grande" indica que el mapa $ \phi $ está lejos de ser surjectiva.

Como ejemplo, consideremos las incrustaciones de los espacios vectoriales $f: \mathbb {R} \to \mathbb {R^2}$ y $g: \mathbb {R} \to \mathbb {R^3}$ . El núcleo de $f$ es isomorfo a $ \mathbb {R}$ y el núcleo de $g$ es isomorfo a $ \mathbb {R}^2$ . Así que, en cierto sentido, $f$ está más cerca de ser una suposición que $g$ es.

Answer 2

Algunas formas en las que creo que el núcleo debe ser enseñado:

• Para los principiantes: Todo el mundo aprende que un mapa $f \colon A \to B$ (en una categoría adecuada, dicen los grupos abelianos) es un uno a uno iff $ \ker f=0$ . A la inversa, podemos Piense en los cokernels como la detección de las sospechas: a saber $f$ es surjectiva iff $ \operatorname {coker} f=0$ . Cualquier grupo de cociente (anillo, módulo, ...) es un núcleo de una inyección, así que ¿por qué no ver lo que pasa con los mapas que no son inyectables?
• Para los estudiantes más avanzados: Los cokernels son el categórico dual de los kernels, y para mí esto es por lo que son útiles. El ecualizador de $f$ con el mapa cero es el núcleo, y el El coeficiente del mismo diagrama es el núcleo. En este sentido, los cokernels deberían ser completamente naturales ya que satisfacen la doble propiedad universal del kernel.
• Para la gente que le gusta la topología: Son un análogo algebraico de la cofibra (homotropía) en un sistema topológico el ajuste. Si uno está dispuesto a aceptar que los espacios de cociente (= cofibra) y los conos de mapeo (= cofibra de homotropía) son construcciones útiles, entonces uno debería estar de acuerdo en que los cokernels también lo son.

Answer 3

Lo que estoy pensando, para tratar de entender esto, es que la imagen de un núcleo se desvanece - así que en el "objetivo" de algún mapa/función/flecha uno puede realmente no recuperar ninguna información sobre el núcleo. El núcleo es en realidad la pieza más grande del "objeto" del cual esto es cierto.

Dually, si uno está mirando la "imagen" de una función, no se puede decir nada sobre la estructura del núcleo (en términos de la parte del "objetivo" que no está en la "imagen"), y esta es la pieza más grande del objetivo para la que esto es cierto.

La distinción entre ambos en el trabajo elemental parece ser que uno está más interesado en la estructura del objeto, del cual el núcleo es una parte natural.

Esto se hizo demasiado largo para un comentario, así que lo he publicado como respuesta. Las sumas directas/sumas ortogonales de los espacios vectoriales parecen proporcionar los primeros ejemplos de cokernels en mi propia educación matemática. Otros ejemplos que serían pedagógicamente útiles serían muy apreciados.