¿Cómo encontrar el ángulo sólido de una curva cerrada?

Question

Estoy buscando la fórmula generalizada de cómo encontrar el ángulo sólido para una curva cerrada en $R^3$ para luego generalizarlo para $R^n$ . Gracias por las respuestas y las referencias de los documentos o libros y los enlaces que están relacionados con el tema.

Estoy tratando de expresar la fórmula general del área de proyección ( $S$ ) en la esfera de la unidad como se muestra en la imagen anterior.

Por ejemplo, ¿cómo encontrar el ángulo sólido para el caso especial?

Una curva definida :

$x=3+\cos(t)$

$y=3+\sin(t)$

$z=3$

Answer 1

Divida sus componentes por la longitud de $r$ : $$|r|=\sqrt{(3+\cos(t))^2+(3+\sin(t))^2+3^2}=\sqrt{6\sqrt{2}\sin(t+\pi/4)+28}$$

para proyectarlos en la esfera de la unidad, por ejemplo, obtendrá $$ \frac{3+\cos(t)}{\sqrt{6\sqrt{2}\sin(t+\pi/4)+28}} $$ para su proyección $x$ .