Los objetos terminales son solo un objeto que, dado que existe cualquier otro objeto en la categoría, existe un único morfismo (único) para este objeto terminal.
En la categoría de conjuntos, ¿por qué cada conjunto de singleton es un objeto terminal? ¿Cuáles son explícitamente los morfismos?
Una flecha en$\mathtt{Set}$ es un mapa, es decir, una función completamente definida. Esto es, si$f: A \to B$ es una flecha en$f$, puede asociar un$b\in B$ para cualquier$a \in A$.
Deje que$X$ sea un conjunto y$\{\star\}$ a singleton y deje que$f : X \to \{\star\}$ sea una flecha. Entonces para $x \in X$, $f(x) \in \{\star\}$. Es decir, $f(x) = \star$. Eso determina completamente cada imagen de$x$ por$f$ por lo tanto, determina completamente que$f$ sea la función constante para$\star$.
Hablando formalmente, un mapa de$A$ a$B$ es un triple$(A,B,f)$ con$f\subseteq A\times B$ que satisface la siguiente propiedad (llamada funcionalidad ):$$ \forall a\in A,\left(\exists b\in B,(a,b)\in f\right) \land \left(\forall b,b'\in B, \left((a,b)\in f\land (a,b')\in f\right) \to b=b'\right)$ $
Para simplificar, generalmente denotamos$f(a)$ para el único$b$, tal que$(a,b)\in f$.
Ahora si$B$ es un singleton, hay exactamente un$f\subseteq A\times B$ que satisface esta propiedad, y esto es$A\times B$ en sí mismo.
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