Combinación óptima de muestras para estimar las medias

Question

Supongamos que tengo dos mesas, cada una de ellas de tamaño desconocido, y quiero estimar la media de sus tamaños reales. Contrato a dos contratistas: uno garantiza una buena precisión (es decir, su medición se distribuye normalmente en torno al valor real, con una desviación estándar de 5 mm), mientras que el otro es un imbécil (es decir, su medición también es insesgada, pero con una desviación estándar de 100 mm). ¿Cuál es la forma óptima de combinar las dos mediciones para formar una estimación final de su verdadero tamaño medio? La manera formal de plantear esta pregunta es: "Dada una muestra de una variable aleatoria de distribución normal con varianza conocida, y otra muestra de una segunda variable aleatoria de distribución normal con varianza conocida (pero potencialmente diferente), ¿cuál es la mejor estimación del valor esperado de la media de las dos variables aleatorias?" ¿La respuesta es "simplemente promediarlas"? Lo ideal es demostrar la respuesta, sea cual sea.

EDIT: No sé si ha quedado claro, pero un contratista mide la tabla 1, mientras que el otro mide la tabla 2.

Answer 1

De forma más general, la combinación lineal insesgada de estimadores de mínima varianza es su media ponderada de varianza recíproca.

Answer 2

Puedes prescindir de la normalidad si te limitas a las estimaciones lineales. Dado $\mu, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \sigma_{12}$ , se tienen variables aleatorias $X_1,X_2$ con $E(X_1) = E(X_2) = \mu$ y $\text{Var}(X_1) = \sigma_1^2$ y $\text{Var}(X_2) = \sigma_2^2$ y $\text{Cov}(X_1,X_2) = \sigma_{12}$ . Usted quiere $l_0,l_1,l_2$ tal que $E(l_0+l_1 X_1 + l_2 X_2) = \mu$ (imparcial) y $\text{Var}(l_0 + l_1 x_1 + l_2 X_2)$ es lo más pequeño posible (estimador insesgado de varianza mínima). De la primera ecuación se obtiene $l_0 + l_1 \mu + l_2 \mu = \mu$ para todos $\mu$ es decir, $l_0 = \mu ( 1 - l_1 - l_2)$ para todos $\mu$ . Lo cual es posible si $l_0 = 0$ y $l_1 + l_2 = 1$ . Así que la segunda condición se reduce a minimizar $\text{Var}(l_1 X_1 + l_2 X_2)$ sobre todo $l_1,l_2$ con sujeción a $l_1 + l_2 = 1$ . Cálculo simple de multiplicadores lagrangianos aplicado a $\text{Var}(l_1 X_1 + l_2 X_2) - \lambda(l_1 + l_2 - 1)$ lleva a
$l_1 \sigma_1^2 + l_2 \sigma_{12} - \lambda = 0$
$l_1 \sigma_{12} + l_2 \sigma_{2}^2 - \lambda = 0$
$l_1 + l_2 = 1$
de la que obtenemos nuestro estimador como
$\frac{\alpha_1}{\alpha_1 + \alpha_2} X_1 + \frac{\alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2} X_2$ donde $\alpha_1 = \frac{\sigma_2^2 - \sigma_{12}}{\sigma_1^2\sigma_2^2 -\sigma_{12}^2}$ y $\alpha_2 = \frac{\sigma_1^2 - \sigma_{12}}{\sigma_1^2\sigma_2^2 -\sigma_{12}^2}$ . Tenga en cuenta que si $\sigma_{12} = 0$ entonces se reduce a $\frac{\sigma_2^2 X_1 + \sigma_1^2 X_2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}$ como se ha señalado anteriormente.

Answer 3

El simple hecho de promediarlos no tiene en cuenta las diferentes varianzas y, por tanto, no da un resultado óptimo.

La mejor estimación (de varianza mínima, insesgada) del valor esperado $\mu$ de esas dos distribuciones $X_1, X_2$ con desviaciones $\sigma^2_1,\sigma^2_2$ es $$\hat\mu(x_1, x_2) = \frac{\sigma_1^2x_2+\sigma_2^2x_1}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$$ .

Por favor, corrijan mi anotación. He aprendido estas cosas con nombres alemanes. =)

La distribución conjunta de $X_1, X_2$ forma una familia exponencial en $T(x_1, x_2) = \sigma_1^2x_2+\sigma_2^2x_1$ ya que su función de densidad de probabilidad tiene la forma

$$f(x_1, x_2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\exp({-\frac{(x_1-\mu)^2}{2\sigma_1^2}-\frac{(x_2-\mu)^2}{2\sigma_2^2}})$$ $$= h(x)A(\mu)\exp({\frac{\mu(\sigma_1^2x_2+\sigma_2^2x_1)}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}})$$ con $h(x)A(\mu)$ siendo todas las cosas poco interesantes. =)

Por lo tanto, $T$ es suficiente, $\mu$ depende sólo de $T$ y es insesgada y el teorema de Lehmann-Scheffé, junto con algunos murmullos sobre la exhaustividad, concluyen la demostración.