Prueba $\sec^2\frac{\pi}{7}+\sec^2\frac{2\pi}{7}+\sec^2\frac{3\pi}{7}=24$ utilizando las raíces de un polinomio

Question

Tengo que

pruebe $\sec^2\frac{\pi}{7}+\sec^2\frac{2\pi}{7}+\sec^2\frac{3\pi}{7}=24$ utilizando las raíces del polinomio $x^3-21x^2+35x-7=0$

Intenté factorizar el polinomio pero no funcionó y más tarde descubrí que no se puede factorizar con racionales. y vi algunos problemas similares en StackExchange. Pero las respuestas me resultan muy complejas. No puedo usar la fórmula de números complejos de Euler ya que no está en el temario. No quiero la respuesta exacta sino una orientación para la respuesta.

Answer 1

Deje $t=\tan(\theta)$ tenemos \begin{eqnarray*} \tan(7 \theta) =\frac{ 7t-35t^3+21t^5-t^7}{1-21t^2+35t^4-7t^6}. \end{eqnarray*} Establecer $\tan(7 \theta) =0$ entonces el polinomio \begin{eqnarray*} 7t-35t^3+21t^5-t^7=0 \end{eqnarray*} tiene raíces $t=0, \tan( \pi/7), \cdots ,\tan( 6 \pi/7)$ . Así que \begin{eqnarray*} x^3-21x^2+35x-7=0 \end{eqnarray*} tiene raíces $x= \tan^2(\pi/7),\tan^2(2\pi/7),\tan^2(3\pi/7)$ . Ahora dejemos que $y=x+1$ .