Prueba algebraica de que un conjunto generado por rotaciones irracionales es denso en$S^1$.

Question

Este es el ejercicio 1.9 en la Mentira de Grupos de Lie y Álgebras de Representaciones - Hall.

Supongamos $a$ es un irracional número real. Mostrar que el conjunto de $E_a$ de los números de la forma $e^{2\pi i n a}$, $n \in \mathbb{Z}$, es denso en el círculo unidad $S_1$. Sugerencia: Muestre que si dividimos $S^1$ a $N$ igual tamaño "contenedores" de longitud $2\pi/N$, al menos hay un bin que contiene una infinidad de elementos de $E_a$. A continuación, utilice el hecho de que $E_a$ es un subgrupo de $S^1$.

Mi prueba de esta proposición es la siguiente. Desde $a$ es irracional, se puede determinar que el conjunto de rotaciones $E_a$ es infinito. Desde $S^1$ es compacto, podemos encontrar dos $r_1, r_2$ que están dentro de $\epsilon$ de cada uno de los otros. A continuación, $r_1^{-1}r_2$ es una pequeña rotación de tamaño $\epsilon$. Ahora, $r_1^{-1}r_2$ genera rotaciones que están dentro de $\epsilon$ de distancia de cualquier punto de $S^1$.

Dicho esto, no creo que la sugerencia se sugiere en el problema, utiliza esa técnica. Mis conocimientos de álgebra no es del todo fuerte, así que estaba esperando que alguien podría arrojar algo de luz sobre lo que se propone.

Answer 1

La sugerencia es similar a su prueba sin usar directamente la compacidad. En su lugar, sugiere que utilice el principio de casillero para mostrar que podemos elegir arcos arbitrariamente pequeños que contienen al menos dos elementos del grupo (de hecho, infinitamente muchos), y luego proceder como en su argumento.

Answer 2

Creo que esto debería funcionar: por Weirstrass Teorema , cada delimitada infinito subconjunto del plano que contiene a un punto límite, decir $p$. A continuación, hay una secuencia {$ka : k \in \mathbb N$}en $ E_a \cap S^1$ que converge a $p$. Ahora, para cualquier otro $q \neq p$, aplicar la traducción para la construcción de una secuencia que converge a $q$. Quiero decir, la escala de la secuencia en la $E_a$ que converge a $p$ por una rotación por $\alpha -\theta$ donde$p=e^{i\theta} , q=e^{i \alpha} $, Entonces, si $e^{2\pi ka}\rightarrow p$ ,con algunos cambios, $e^{i2\pi ka(\theta -\alpha)} \rightarrow q$. Ahora, obviamente, multiplicando por $\theta- \alpha$ puede empujarlo fuera de $E_a$, pero puede aproximar la diferencia por un número racional.

EDIT: con Más claridad, como usted ha señalado, puede utilizar esta (de Cauchy) la secuencia en la que converge a $p$ a crear un elemento $e_a$ en $E_a$ que le da una rotación por cualquier cantidad. La repetición de este , es decir, la secuencia {$ne_a$} le da el subconjunto denso de $S^1$. (usted puede construir una selección de $e_a$ cualquier $\epsilon$ usted elija.)