¿Cuáles son los valores posibles para$\gcd(a^2, b)$ si$\gcd(a, b) = 3$?

Question

Estaba revisando mis notas sobre la teoría de los números y encontré esta pregunta.

Deje que$a$,$b$ sean enteros positivos tales que$\gcd(a, b) = 3$. ¿Cuáles son los valores posibles para$\gcd(a^2, b)$?

Sé que tiene que ver con su descomposición de factorización principal, pero ¿a dónde voy desde aquí?

Answer 1

Si $p$ es un número primo, y $p|a^2$,, a continuación,$p|a$; por lo tanto, si $p|a^2$ e $p|b$,, a continuación, $p|a$ e $p|b$, por lo tanto $p|\gcd(a,b) = 3$. Por lo $\gcd(a^2,b)$ debe ser una potencia de $3$.

También, $3|a^2$ e $3|b$, lo $3|\gcd(a^2,b)$; por lo $\gcd(a^2,b)$ es un múltiplo de $3$.

Si $3^{2k}|a^2$,, a continuación, $3^k|a$ (puede utilizar la descomposición en factores primos aquí), así que si $3^{2k}|\gcd(a^2,b)$,, a continuación,$3^k|\gcd(a,b) = 3$. Por lo tanto, $k\leq 1$. Es decir, ningún poder de la $3$ mayor que $3^2$ puede dividir $\gcd(a^2,b)$.

En resumen: $\gcd(a^2,b)$ debe ser una potencia de $3$, debe ser un múltiplo de $3$, y no puede ser divisible por $3^3=27$. Lo que queda? Ahora se dan ejemplos para mostrar todas esas posibilidades pueden ocurrir.

Answer 2

Sabemos que entre todos los divisores de $b$, sólo 3 divide $a$. Hay dos casos: 1) 3 divide $b$ sólo una vez xor 2) 3 divide $a$ sólo una vez (y $b$ más de una vez!). 1) $GCD(a^2,b)$ es 3. 2) 3 divide $a^2$ dos veces, por lo $GCD(a^2,b)$ es $3^2=9$.

EDITAR: Yo creo que es necesario agregar a la ley general, que es ampliamente utilizado aquí y permite corto razonamientos. Deje $\{ p_i\}$ ser el conjunto de todos los primos divisores de $a$ o $b$. Entonces tenemos:

Si $a=\prod_{i=1}^n p_i^{q_i},\ b=\prod_{i=1}^n p_i^{r_i}$ (algunos de $q_i,\ r_i$ podría ser igual a cero), entonces $$GCD(a,b) = \prod_{i=1}^n p_i^{min(r_i,q_i)}.$$

Answer 3

SUGERENCIA: escriba la factorización prima de a y la de b. Los divisores de a son productos de los números primos en la factorización prima de a. Lo mismo para b. ya que gcd (a, b) = 3, entonces a y se comparte un$3^{1}$ en su factorización prima. ¿Qué pasa cuando cuadras un número? Terminas cuadrando todos los números primos, incluyendo el 3.

Answer 4

Sugerencia $\rm\: \ (a,b)\ |\ (a^2,b)\ |\ (a,b)^2\ $ desde$\rm\ (a^2,b)\ |\ a^2,ab,b^2\ \Rightarrow\ (a^2,b)\ |\ (a^2,ab,b^2) = (a,b)^2 $

Por lo tanto,$\rm\:3\ |\ (a^2,b)\ |\ 9\:$ cuando$\rm\:(a,b) = 3\ \ $ QED

O bien:$\:$ deja$\rm\:a = 3^K A,\:\ b = 3^N B,\ \ 3\nmid A,B.\ \ $$\rm(a,b)=3\ \Rightarrow \ (A,B) = 1\:$ y$\rm\:\min(K,N) = 1.\:$ por lo tanto

PS

Answer 5

Existen enteros$x$ y$y$ tales que$ax+by=3$. Cuadrar ambos lados. Luego$$a^2 x^2+b(2axy+by^2)=9,$ $ y, por lo tanto,$\gcd(a^2,b)$ divide$9$. Finalmente, muestre que$1$ no puede suceder, pero$3$ y$9$ puede.