Cómo probar que$M(A)=\left\{g\in G:g^n=\prod_{i=1}^ma_i^{n_i},a_i\in A,n_i\in\mathbb N\cup\{0\},n\in\mathbb N\right\}?$

Question

Deje $G$ ser un grupo Abelian y $\emptyset\neq A\subseteq G$. Vamos $$M(A)=\bigcap_{A\subseteq C}C$$ donde $C$ es cualquier subconjunto de $G$ tal que $c^k\in C$ para todos los $c\in C$ e $k\in\mathbb N\cup\{0\}$ y si no es $g\in G$ tal que $$g^k=\prod_{i=1}^mc_i^{k_i},\,k=\sum_{i=1}^mk_i$$ para $c_i\in C$ e $k_i\in\mathbb N$,, a continuación,$g\in C$.

Estoy tratando de demostrar que $$M(A)=\left\{g\in G:g^n=\prod_{i=1}^ma_i^{n_i},a_i\in A,n_i\in\mathbb N\cup\{0\},n\in\mathbb N\right\}?\tag{*}$$ o encontrar un ejemplo para mostrar que la igualdad no se mantienen, en general.

También he demostrado que la igualdad en $(*)$ mantiene, si redefinimos $M(A)$ mediante la adición de una tercera condición a $C$, es decir, si no es $k\in\mathbb N$ e $g\in G$ tal que $g^k\in C$ entonces $g\in C$.

Answer 1

Esto es cierto, porque su "tercera condición" siempre se cumple para los conjuntos$C$ que satisfacen sus primeras dos condiciones. De hecho, si$C$ no está vacío (por ejemplo,$c\in C$) y cumple sus dos primeras condiciones, entonces contiene$c^0=1$. Ahora suponga$g^k\in C$ para algunos$k>0$. Tenga en cuenta que$$g^k=(g^k)^1\cdot 1^{k-1},$$ so by the second condition on $ C$ (with $ m = 2$, $ k_1 = 1$, and $ k_2 = k-1$), $ g \ en C $.