Cómo calcular el determinante de$A$ tal que$A=(I+\ [c_ic_j])\in M_n(\mathbb R)$,$c_i\in\mathbb R$

Question

suponga que$\ [c_ic_j]_{n\times n}\in M_n(\mathbb R)$ tal que$c_1,c_2,\ldots,c_n\in\mathbb R$ y$I$ sea una matriz de identidad

cómo calcular$$\det (I+\ [c_ic_j])=?$ $ gracias de antemano

Answer 1

Ya he contestado a esta pregunta, pero no puedo encontrarlo... Escribir la matriz de $X=I_n+CC^T$. Si $C=0$, el problema es trivial. Así que supongamos $C\neq 0$. A continuación, tenga en cuenta que $CC^T$ es un rango de una matriz, por lo $0$ es un autovalor de multiplicidad $n-1$. Ahora $(CC^T)C=C(C^TC)=\|C\|^2 C$. Por lo $\|C\|^2$ es un valor distinto de cero autovalor de multiplicidad, al menos,$1$. De ello se desprende que, con multiplicidades: $$ \mbox{espectro} (CC^T)=\{\|C\|^2,0\ldots,0\}\quad\Rightarrow\quad\mbox{espectro} (I_n+CC^T)=\{1+\|C\|^2,1\ldots,1\}. $$ Por lo tanto (por supuesto, $I_n+CC^T$ es diagonalizable de la anterior, o directamente por la observación de que es hermitian): $$ \det (I_n+CC^T)=1+\|C\|^2=1+\sum_{k=1}^nc_k^2. $$

Edit: Como se ha señalado por @ChrisGodsil, es cierto en general que $\det(I_m+AB)=\det(I_n+BA)$ por cada $m\times n$ matriz $A$ y cada una de las $n\times m$ matriz $B$. Esto incluso puede ser generalizada a la más general hecho de que la característica de los polinomios de satisfacer $$ t^m\chi_{BA}(t)=t^n\chi_{AB}(t). $$ Y esto se mantiene por encima de cualquier anillo. Vea aquí.