correlación de los medios de muestra bootstrap

Question

Dada una muestra $\{x_1,\dots,x_n\}$, $z_1$ y $z_2$ son dos bootstrap realizaciones de la muestra significa, que es, $$z_1 = \frac{1}{n}\sum\{x\in\text{bootstrap sample 1}\}$$ $$z_2 = \frac{1}{n}\sum\{x\in\text{bootstrap sample 2}\}$$ , cómo calcular el $corr(z_1, z_2)$?

ACTUALIZACIÓN

Para asegurarme de que entiendo el problema correctamente, aquí es lo que estoy tratando de resolver:

Aquí es lo que he intentado, como @probabilityislogic sugerido, $$z = \frac{1}{n}\sum(x_ik_i) ;k_1+k_2+\cdots+k_n = n$$ , ya que este es un bootstrap de la muestra, por lo $x_i$ son constantes y $k_i$ son variables aleatorias que $$(k_1,k_2,\cdots,k_n) \sim Mult(k_1k_2\cdots k_n|n, p_1,p_2,\cdots,p_n)$$ . Traté de calcular la media y la varianza como este, \begin{align*} E(z) &= \sum_k\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}p^kz\\ &= \sum_k\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}p^k(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_ik_i)\\ &= \frac{1}{n}\left[\sum_k\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}p^k(x_1k_1+\cdots+x_nk_n)\right]\\ &= \frac{1}{n}[np_1x_1+\cdots+np_nx_n]\\ &= p_1x_1+\cdots+p_nx_n \end{align*} y desde cada una de las $k_i$ podría ser cualquier número en $[0,n]$,, a continuación,$p_i = \frac{1}{n+1}$, ¿verdad? Si es así, $$E(z) = \frac{n}{n+1}\bar x$$ .

Para calcular la covarianza, \begin{align*} Cov(z_1, z_2) = \sum_{k_{z1}, k_{z2}}\left[\text{Pr}(k_{z1},k_{z2})(z_1 - E(z))(z_2 - E(z))\right] \end{align*} donde $\text{Pr}(k_{z1}, k_{z2})$ es la probabilidad conjunta de $k$ para $z_1,z_2$. Estoy en el buen camino aquí para covarianza de $z_1$ e $z_2$?

Me parece que no puede entender, parece demasiado complicado para mí.

Answer 1

Yo solía pensar que la respuesta debe ser 0, pero veo lo que hice mal antes. El problema no está buscando el condicionado de correlación, por lo que sin pérdida de generalidad, podemos ver en el caso de que $\mu=0,\sigma^2=1$:

Deje $x_i^{(k)}$ se muestra de $i$ de la $k$th bootstrap.

A continuación,$\bar{x}_k^* = \frac{1}{n} \sum_{i}{x_i^{(k)}}$.

Los valores de la clave que necesitamos para calcular son:

$E\ x_i^{(k)}=E(E[x_i^{(k)}|\mathbf{x}])=E \bar{x}=0$

$var(x_i^{(k)})=E(var(x_i^{(k)}|\mathbf{x}))+var(E[x_i^{(k)}|\mathbf{x}])=\frac{n-1}{n}+\frac{1}{n}=1$

$cov(x_i^{(1)},x_j^{(2)})=E(x_i^{(1)}-0)(x_j^{(2)}-0)=E(E[x_i^{(1)}x_j^{(2)}|\mathbf{x}])=E\bar{x}^2=\frac{1}{n}$

(lo mismo es cierto para $(x_i^{(k)},x_j^{(k)}) \, i\neq j$)

Con lo anterior, el cálculo de los siguientes debe ser fácil:

$cov(\bar{x}_1^*,\bar{x}_2^*)=\frac{1}{n^2} (\sum_{i,j}{cov(x_i^{(1)},x_j^{(2)})})=\frac{1}{n}$

$var(\bar{x}^*_i)=\frac{1}{n^2}\left(n*var(x_1^{(1)})+n(n-1)*cov(x_1^{(1)},x_2^{(1)}) \right)\\ \quad \quad \ \ = \frac{2n-1}{n^2}$

$\rightarrow corr(\bar{x}_1^*,\bar{x}_2^*)=\frac{n}{2n-1}$