Es f(x) = x liso?

Question

Puede sonar demasiado básica, a pesar de ser una pregunta, pero no pude encontrar una respuesta clara en Wolfram Alpha, Wolfram Mathworld o Wikipedia. Varios otros ejemplos de funciones más complicadas se dan.

En Wolfram Mathworld está escrito que

Una función suave es una función que tiene continuos derivados de hasta algunos deseada de la orden a través de algunas de dominio. (...) El número de continuo derivados necesaria para que una función sea considerado liso depende en el problema en cuestión, y puede variar desde dos hasta el infinito.

$f(x) = x$ ha derivado 1 de la primera orden y 0 de segunda orden, así que yo diría que en base a esto, tiene al menos 2 de los derivados. Creo que también tiene un número infinito de derivados que también son 0.

Otra página de Wolfram Mathworld dice lo siguiente:

Un $C^{\infty}$ función es una función derivable para todos los grados de diferenciación. (...) Todos los polinomios son $C^{\infty}$. (...) $C^{\infty}$ las funciones también son llamados "suave" (...).

Desde $f(x) = x$ es un polinomio, estoy a la conclusión de que los párrafos anteriores, significa que es también suave.

Answer 1

Una función es suave, se dispone de derivados de la sucesión infinita. $f(x) = x$ es suave porque tiene infinidad de derivados que son todos 0, a excepción de la primera. Los polinomios son suaves, porque finalmente sus derivados son 0.

Answer 2

Sí, la identidad de la función tiene derivadas de todos los finitos de orden, y por lo tanto es suave. No importa que la mayoría de los derivados se $0$ en todas partes, ser $0$ es perfectamente cromulent manera de existir.

Answer 3

Usted puede estar teniendo problemas con la diferencia entre la existencia y la trivialidad.

Si $f(x)=x$

$f(x)=x$ es continuouss

$f'(x)=1$ es continua

$f''(x)=0$ es continua

$f'''(x)=0$ es continua

etc...

Así que todos sus derivados son continuas. En la otra mano, tome $g(x)=x\times|x|$

$g(x)=x\times|x|$ es continua

$g'(x)=\frac{|x|}2$ es continua

$g''(x) = \frac12$ si $x>0$, $g''(x)=-\frac12$ si $x<0$ $g''(0)$ no está definido

Claramente $g''$ no es continua porque de $g''(0)$ no existente, y por lo $g$ sólo tiene dos derivados.

Intuitivamente, todos los de $f$'s de los derivados no tienen descansos en su gráfico ($y=0$ es simplemente una línea agradable), mientras que $g''$ gráfico tiene un agujero en el a $x=0$.