Encuentre$(a,b)$ tal que$\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=1$ implica$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x(1+a\cos x)-b\sin x}{(f(x))^3}=1$

Question

Deje que$f$ denote cualquier función tal que$\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=1$. Encuentra el valor de$a$ y$b$, asumiendo que$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x(1+a\cos x)-b\sin x}{(f(x))^3}=1$.

Mi intento:
$\lim_{x\to 0}\frac{x(1+a\cos x)-b\sin x}{(f(x))^3}=1$

$\lim_{x\to 0}\frac{x(1+a\cos x)-b\sin x}{x^3\frac{(f(x))^3}{x^3}}=1$

$\lim_{x\to 0}\frac{x(1+a\cos x)-b\sin x}{x^3}=1$

$\lim_{x\to 0}\frac{1+a\cos x-b\frac{\sin x}{x}}{x^2}=1$

$\lim_{x\to 0}\frac{1+a\cos x-b}{x^2}=1$

Como el denominador tiende a cero, el numerato también tenderá a cero.

$1+a-b=0............................(1)$

Aplicando la regla del hospital L,
$\lim_{x\to 0}\frac{-a\sin x}{2x}=1$
Y entonces $a=-2$

Pero la respuesta dada en mi libro es$b=-1$ y$a=\frac{-5}{2}$.

No entiendo donde me he equivocado?

Answer 1

Ya que podemos escribir $$\lim_{x\to 0}\frac{x(1+a\cos x)-b\sin x}{(f(x))^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x(1+a\cos x)-b\sin x}{x^3}\cdot\frac{1}{(f(x)/x)^3}$ $ tenemos que tener$$ \lim_{x\to 0}\frac{x(1+a\cos x)-b\sin x}{x^3}=1 Podemos escribir $$\lim_{x\to 0}\frac{x(1+a\cos x)-b\sin x}{x^3}\tag1$$ $$= \ lim_ {x \ to 0} \ frac {1 + a \ cos xb \ frac {\ sin x} {x}} {x ^ 2} \ tag2$$ Pero no podemos escribir$(2)$ como$$\lim_{x\to 0}\frac{1+a\cos x-b\cdot 1}{x^2}

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Desde$(1)$, por la regla de L'Hôpital, $$(1)=\lim_{x\to 0}\frac{1+a\cos x-ax\sin x-b\cos x}{3x^2}\tag3$ $ Aquí, tenemos que tener$$ 1+a-b=0\tag 4 Usando la regla de L'Hôpital varias veces, $$\begin{align}(3)&=\lim_{x\to 0}\frac{1-ax\sin x-\cos x}{3x^2}\\&=\lim_{x\to 0}\frac{-a(\sin x+x\cos x)+\sin x}{6x}\\&=\lim_{x\to 0}\frac{-2a\cos x+ax\sin x+\cos x}{6}\\&=\frac{-2a+1}{6}\end{align}$ $ y así$$ \frac{-2a+1}{6}=1\tag5 Ahora resuelve$(4)(5)$.

Answer 2

Al igual que mathlove respondió, debemos encontrar$a,b$ tal que $$\lim_{x\to 0}\frac{x(1+a\cos (x))-b\sin (x)}{x^3}=1$$ Let us use the classical Taylor expansions $$\cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+O\left(x^3\right)$$ $$\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+O\left(x^4\right)$$ and replace to get $$\frac{x(1+a\cos (x))-b\sin (x)}{x^3}=\frac{x (a-b+1)+x^3 \left(\frac{b}{6}-\frac{a}{2}\right)+O\left(x^4\right)}{x^3}$$ So, the first thing is $a-b +1 = 0$ and the second (for a limit equal to $1$) is $\ frac {b} {6} - \ frac {a} {2} = 1$. Resolver estas dos ecuaciones conduce a los valores requeridos.

Answer 3

Otros han señalado tu error.

El numerador en su tercera línea se puede escribir como $$x\bigl(1+a(1-{x^2\over2}+?x^4)\bigr)-b\bigl(x-{x^3\over6}+?x^5\bigr)=(1+a-b)x+\bigl(-{a\over2}+{b\over6}\bigr)x^3+?x^5\ ,$ $ donde cada signo de interrogación representa algunas series de potencias convergentes. De ello se deduce que$a$ y$b$ tienen que satisfacer$$ 1-a-b==0,\qquad-{a\over2}+{b\over6}=1\ , de los cuales obtenemos$$a=-{5\over2},\qquad b=-{3\over2}\ .