Pista para integral de una función.

Question

Deje $f:[0,1] \to \mathbb R$ ser una función continua y $f(x) > 0$ para todos los $x \in [0,1]$

Evaluar la integral de abajo $$ \int_0^1 \frac{f(x)dx}{f(x)+f(1-x)} $$

No estoy seguro acerca de lo que debo hacer para esta integral. Yo no podría escribir las sumas de Riemann, porque no sé infimum y supremum. Sólo sabemos que es continua y positiva. ¿Cómo puedo utilizar la continuidad y la positividad para la evaluación. Necesito algunos consejos. Muchas gracias.

Answer 1

Sugerencia: la positividad realmente solo está ahí para asegurarnos de que $f(x)+f(1-x)\neq 0$ para todos $x\in[0,1]$ , y de manera similar, la continuidad se puede reemplazar por suposiciones más débiles. Substituir $u=1-x$ da $$ \ int_0 ^ 1 \ frac {f (x) \, \ mathrm {d} x} {f (x) + f (1-x)} = \ int_0 ^ 1 \ frac { f (1-u) \, \ mathrm {d} u} {f (u) + f (1-u)} $$

Answer 2

Esto es sólo otra manera de hacer uso del hecho de que

$$ \int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx $$

Que puede ser muy fácilmente mediante la sustitución de $u = a +b -x$.

Para tu problema de $a = 0$ e $b=1$ y así

$$ \int_0^1 \frac{f(x)}{f(x) + f(1-x)} dx = \int_0^1 \frac{f(0+1-x)}{f(0+1-x) + f(1-(0+1 -x))} = \int_0^1 \frac{f(1-x)}{f(1-x) + f(x)} $$

Así que si usted pone

$$ I = \int_0^1 \frac{f(x)}{f(x) + f(1-x)} dx $$

entonces

$$ 2I = I + I = \int_0^1 \frac{f(x)}{f(x) + f(1-x)} dx + \int_0^1 \frac{f(1-x)}{f(1-x) + f(x)} dx \\ = \int_0^1 \frac{f(x)}{f(x) + f(1-x)} + \frac{f(1-x)}{f(1-x) + f(x)} dx\\ = \int_0^1 1 dx = 1 $$

Por lo tanto,

$$ I = \int_0^1 \frac{f(x)}{f(x) + f(1-x)} dx = \frac{1}{2}$$

Este tipo de problema de hacer uso de la simetría. Algo que siempre hacen que el problema sea mucho más fácil de resolver en matemáticas!

Por ejemplo: Supongamos que queremos resolver:

$$ \int_4^8 \frac{\log x}{\log x + \log(12-x)} dx$$

Esta integral se ve muy intimidante, especialmente si usted está pensando en usar el Teorema Fundamental del Cálculo (encontrar la antiderivada, luego de evaluar en los puntos de límite). Sin embargo, debido a la simetría, y el hecho de que $ \int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx $. Podemos decir que:

$$ I = \int_4^8 \frac{\log x}{\log x + \log(12-x)} dx = \int_4^8 \frac{\log 12 - x}{\log 12 - x + \log(x)} dx$$

A partir de aquí, podemos ver que

$$ 2I = \int_4^8 \frac{\log x}{\log x + \log(12-x)} + \frac{\log 12 - x}{\log 12 - x + \log(x)} dx = \int_4^8 1 dx = 4 $$

y por lo tanto,

$$ I = \int_4^8 \frac{\log x}{\log x + \log(12-x)} dx = 2$$

Hay así que muchos de integrales definidas por ahí que se puede resolver muy fácilmente por medio de esta simple pero poderosa técnica, que no es más que U-Sub y haciendo uso de la simetría. Es un poco extraño para mí que muchos de cálculo de los profesores nunca realmente mención de esto en clase. Tal vez es muy obvio para ellos.

Answer 3

Haciendo trampa

La pregunta sugiere que el valor de la integral no depende del determinado $f$ . Así que si tomamos $f(x)=x$ ,

PS