Reducibilidad de $x^3+nx+1$ en $\Bbb Z$

Question

¿Para qué valores de $n$ , donde $n$ es un número entero, el polinomio $x^3+nx+1$ es reducible sobre $\Bbb Z$ . Mi intento:

Cuando $n= 0,-2$ el polinomio dado es reducible sobre $\Bbb Z$ como $x=-1$ y $x=1$ son ceros del polinomio. Pero no he podido encontrar si existe algún número entero $n$ para el que el polinomio $x^3+nx+1$ es reducible sobre $\Bbb Z$ . ¿Cómo podemos proceder a partir de aquí? ¿Es el polinomio irreducible sobre $\Bbb Z$ si $n$ no está en $\{0,-2\}$ ?

Answer 1

Si es reducible sobre $\Bbb{Z}$ entonces tiene una raíz en $\Bbb{Z}$ , digamos que $k\in\Bbb{Z}$ . Entonces $k^3+nk+1=0$ así que $$-1=k^3+nk=k(k^2+n),$$ que muestra que $k$ divide $-1$ Así que $k=\pm1$ . Resolviendo las dos ecuaciones $$1^3+n\cdot1+1=0\qquad\text{ and }\qquad (-1)^3+n\cdot(-1)+1=0,$$ produce $n=-2$ y $n=0$ como los únicos valores para los que el polinomio es reducible sobre $\Bbb{Z}$ .