¿Qué estoy haciendo mal resolviendo $ \sqrt {x^2+1}- 2x+1>0$ ?

Question

Primero, empecé a mirar dónde $ \sqrt {x^2+1}$ se define: $ \sqrt {x^2+1}>0$ se define en todas partes. A continuación

$ \sqrt {x^2+1}- 2x+1>0$

$ \sqrt {x^2+1}> 2x-1$

$0> 3x^2-4x$

$0> x(3x-4)$ y resuelvo esto por $x \in (0, \frac {4}{3}]$ .

Sé que esta solución está mal, porque fui y dibujé este gráfico. El resultado correcto es $x \in (- \infty , \frac {4}{3}]$ .

Estoy totalmente confundido sobre cómo resolver desigualdades irracionales ahora, porque la resolución oficial en mi libro de texto se ve así:

$ \sqrt {x^2+1}> 2x-1$ . Esta desigualdad se cumple, si el lado derecho es negativo, por lo tanto $x< \frac {1}{2}$ . Si $x \geq\frac {1}{2}$ el lado derecho es positivo o igual a $0$ y tenemos $0> 3x^2-4x$ lo cual es cierto para $x \in (0, \frac {4}{3}]$ . Ahora con la condición previa $x \geq\frac {1}{2}$ obtenemos la solución $[ \frac {1}{2}, \frac {4}{3})$ El juego completo de soluciones es $x \in (- \infty , \frac {4}{3}]$ .

Nunca resolví este tipo de desigualdad de esta manera, porque es desordenada ¿Por qué iba a mirar las condiciones $x< \frac {1}{2}$ y $x \geq\frac {1}{2}$ cuando puedo decir inmediatamente dónde se define la parte irracional y dónde no.

Al final, este proceso de solución de libro de texto sólo me confundió. ¿Podría alguien explicar por qué la solución correcta es $(- \infty , \frac {4}{3}]$ o más concretamente: ¿Dónde me perdí la parte de la solución $(- \infty ,0]$ ?

Answer 1

Parece creer que $$ \sqrt {x^2+1}>2x-1 \iff x^2+1>(2x-1)^2. \tag1 $$ Esto es falso. La desigualdad $ \sqrt {x^2+1}>2x-1$ se mantiene automáticamente si $2x-1 \leqslant0\left ( \iff x \leqslant\frac12\right )$ . De lo contrario (es decir, si $x> \frac12 $ ) entonces, sí, la equivalencia $(1)$ se mantiene.

Answer 2

Lo que has pasado por alto es que no es cierto que, suponiendo que sepas que $t \geq 0, \text { then } \sqrt {t} \geq y \iff t \geq y^2$ . Lo que es cierto es que $ \sqrt {t} \geq y \iff t \geq y^2 \lor y \lt 0$ .

Así que tienes que tener en cuenta la posibilidad de que $2x-1 \lt 0$ .

Answer 3

Cuando $A \geq 0,$ siempre es cierto que $B > A$ es equivalente a $B^2 > A^2.$ Pero esto es no siempre es cierto cuando $A < 0.$

Por ejemplo, si $A = -2$ y $B = -1,$ entonces $B > A$ es cierto, pero $B^2 > A^2$ es falso.

El paso donde cuadraste ambos lados de $ \sqrt {x^2+1}> 2x-1$ sólo es válido cuando $2x-1 \geq 0,$ es decir, cuando $x \geq \frac12. $ Para cualquier otro valor de $x$ tienes que usar un método diferente.

Un método que funciona para $x< \frac12 $ es notar que el lado derecho de $ \sqrt {x^2+1}> 2x-1$ es siempre negativo mientras que el lado izquierdo nunca es negativo, por lo tanto el lado izquierdo es siempre mayor que el derecho.

Answer 4

En primer lugar, deberíamos comprobar si $x \ge \frac {1}{2}$ y $x < \frac {1}{2}$ porque en este paso: $$ \sqrt {x^2+1}> 2x-1$$ estamos cuadrando ambos lados. Así que signo de $2x-1$ puede cambiar la dirección de la desigualdad (precisamente cuando $|2x-1| > \sqrt {x^2+1}$ ).

Ahora, para el caso en que $x < \frac {1}{2}$ también tenemos una solución para $$x^2+1 <4x^2-4x+1 \implies 3x^2-4x > 0 \implies x < 0 \lor x > \frac {4}{3}$$ pero $x > \frac {4}{3}$ no satisface nuestra primera suposición $x < \frac {1}{2}$ . Por lo tanto, tenemos una solución $x < 0$ aquí.

Answer 5

Si $A,B \in \Bbb R$ , $$ \sqrt A>B \iff \begin {cases}A \ge 0 \\ B<0 \end {cases} \lor\begin {cases}A \ge 0 \\ B \ge 0 \\ A>B^2 \end {cases}$$ En este caso $A=x^2+1$ , $B=2x-1$ $$ \begin {cases}x^2+1 \ge 0 \\ 2x-1<0 \end {cases} \lor\begin {cases}x^2+1 \ge 0 \\ 2x-1 \ge 0 \\ x^2+1>4x^2-4x+1 \end {cases} \iff x< \frac12\lor\begin {cases}x \ge \frac12\\ x(3x-4)<0 \end {cases} \iff\\ \iff x< \frac12\lor \begin {cases}x \ge\frac12\\ 0<x< \frac43\end {cases} \iff x< \frac12\lor \frac12\le x< \frac43\iff x< \frac43 $$