¿Por qué la inducción sólo permite números conectados a $0$ ser natural?

Question

Cuando aprendemos los axiomas de Peano normalmente utilizamos la inducción para sugerir que si una propiedad $P(0)$ es verdadero, y si $P(k)$ ser cierto implica $P(k + 1)$ siendo cierto (para el número natural $k$ ), entonces si $P$ es la propiedad de ser un número natural, empezamos con $0$ siendo un número natural por definición, entonces por inducción $1$ es un número natural, $2$ es un número natural, $3$ es un número natural, etc.

Esto se hace para prohibir cosas como $5.3$ o $\pi$ de ser naturales ya que no son alcanzables al aplicar la función sucesora de $0$ .

Pero lo que no entiendo:

1. Sólo porque podamos señalar el $0, 1, 2, 3, ...$ como números naturales, ¿qué nos impide hacer alguna otra cadena y llamarla números naturales?

2. Si su respuesta al número 1 es "Bueno, para empezar nunca proporcionamos un mecanismo para decir que eran números naturales", entonces ¿cuál era el "riesgo" o el problema si no representaban ninguna amenaza? ¿Por qué tenemos que etiquetar específicamente las cosas relacionadas con $0$ como números naturales cuando está más o menos implícito que las reglas que estamos estableciendo son específicamente para definir qué reglas siguen los números naturales?

Answer 1

Puede utilizar la inducción en cualquier cadena que tenga la misma estructura que $\mathbb N$ tiene; por ejemplo, este tonto ejemplo es perfectamente válido:

Supongamos un conjunto $A\subseteq \mathbb C$ tiene las propiedades que

• $\frac12+\frac12i\in A$

• $\forall z\in\mathbb C: z\in A \to (z+1+i)\in A$

Entonces $A$ contiene todos los números complejos que tienen la misma parte real e imaginaria, cuando esa parte real imaginaria común es un semi-integro positivo.

Los números naturales (con o sin $0$ es su elección) es el ejemplo prototípico de esto - el que creemos entender intuitivamente lo suficientemente bien como para aceptar el principio como verdadero. Y es razonablemente fácil demostrar (en la teoría de conjuntos convencional) que todo conjunto en el que un principio es válido debe ser en correspondencia biyectiva con $\mathbb N$ de manera que se conserve el caso base ( $0$ o $1$ según corresponda, en el caso de $\mathbb N$ ) y la relación de sucesión, por lo que tienen la misma estructura.

Usted podría Si lo desea, declare que el conjunto de números complejos con idénticas partes reales e imaginarias semienteras positivas son su "nuevo $\mathbb N$ " y desarrollar el resto de las matemáticas sobre eso (si puedes vivir ignorando cómo funcionaba la aritmética en tus números complejos originales, y definiendo un "nuevo $\mathbb C$ " más adelante en el proceso). Pero no se sacaría mucho provecho de ello, así que la gente generalmente no va por ahí haciendo eso.

De forma menos frívola, también podría decidir utilizar números naturales diferentes a los que utilizan los libros de texto comunes de teoría de conjuntos. Por ejemplo, Zermelo utilizó originalmente $$ \{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \ldots $$ como sus números naturales -- y eso sigue funcionando bien si se quiere, excepto que la representación habitual de Von Neumann funciona aún mejor (en el sentido de que algunas definiciones adicionales resultan más fáciles de enunciar).

Answer 2

¿Qué nos impide hacer otra cadena y llamarlos números naturales?

De hecho, nada nos detiene. Considerémoslo desde una perspectiva algebraica. Definamos un álgebra de Peano como un $\rm P$ -sobre cero generadores, donde $\rm\,P\,$ es una clase de álgebra compuesta por una operación nula (la constante $0$ ) y una operación unaria (el sucesor $\rm S$ ), y ningún axioma. Así, un álgebra de Peano está formada por los términos $\rm 0,\, S0, S^20,\ldots$ y la libertad implica que no hay dos términos iguales.

Una ventaja de este punto de vista es que podemos aplicar resultados generales de la teoría de las álgebras libres, por ejemplo, la definición por inducción (recursión) está disponible; las álgebras de Peano son únicas hasta el isomorfismo. Muchos buenos libros de texto de álgebra presentan este punto de vista, por ejemplo, el libro de Paul Cohn Álgebra universal , cap. VII.1.

Answer 3

Sólo porque podamos señalar la cadena 0,1,2,3,... como números naturales, ¿qué nos impide hacer alguna otra cadena y llamarla números naturales?

Absolutamente nada te impide hacerlo, y de hecho puedes hacerlo. Esta es la idea de modelos no estándar de aritmética .

La aritmética de Peano puede demostrar, por ejemplo, que los números 0,1,2,3,... existen, y por ejemplo, que los únicos números menores que 3 son 0, 1, 2. Así que si quieres que los axiomas de Peano se mantengan, tu "cadena" tiene que empezar con 0,1,2,3,... sin ningún otro número en medio.

(Cuando escribo algo como "2" aquí, sólo quiero decir "el número que es el sucesor del sucesor de 0". Puedes dar a estos números símbolos diferentes si quieres, y pensar en la cadena como si empezara $0, q, \text{fish}, \dots$ pero eso no hará que sea una cadena diferente).

Sin embargo, es posible que haya números adicionales que vengan después de esta cadena inicial; la aritmética de Peano no puede demostrar que no los haya (suponiendo que sea consistente), por lo que añadir dichos números no introducirá ninguna incoherencia, siempre y cuando se haga de forma cuidadosa para asegurarse de que los números adicionales "infinitamente grandes" siguen satisfaciendo los axiomas de Peano.

Answer 4

La inducción no le "prohíbe" específicamente el uso de $\pi$ . Es bastante flexible.

Por ejemplo, podría hacer una prueba de inducción que fuera así.

En primer lugar, demuestro que $P(\pi)$ es cierto.

A continuación, demuestro que si $P(x)$ es verdadero, entonces $P(x+1)$ es cierto.

De esto, puedo concluir que todas las declaraciones $P(\pi)$ , $P(\pi+1)$ , $P(\pi+2)$ , $P(\pi+3)$ ...son ciertas. En otras palabras, $P(\pi+n)$ es verdadera para todo número natural $n$ .

La prueba es fácil: basta con demostrar la afirmación $Q(x)=P(x-\pi)$ utilizando la inducción ordinaria sobre los números naturales.

Answer 5

¿Qué nos impide hacer otra cadena y llamarlos números naturales?

Una respuesta a esta pregunta es... ¡nada! Puedes tomar cualquier conjunto que te guste, llamar cero a cualquier elemento que te guste, y tomar cualquier función de ese conjunto a sí mismo para que sea la función sucesora, y mientras obedezca todos los axiomas de Peano (usando la forma más fuerte de inducción donde funciona en cualquier subconjunto y no sólo en aquellas propiedades que podemos escribir) estás en tu derecho de usar eso como tus números naturales.

Por supuesto, exigirles que obedezcan todos los axiomas de Peano restringe bastante su elección.

De hecho, es una restricción suficiente que obliga a que el conjunto que has construido sea isomorfo a los números naturales. Esto es porque podemos construir una función $f$ de $\mathbb{N}$ a su conjunto estableciendo $f(0)$ como el cero que eligió para su conjunto y la configuración $f(n+1)$ para ser el sucesor de $f(n)$ y luego demostrar que $f$ es biyectiva. (Este es un buen ejercicio, en realidad. Hay que demostrar que la función está definida en todo $\mathbb{N}$ y que es inyectiva y sobreyectiva, cada vez utilizando un argumento de inducción cuidadosamente elegido).

Esta biyección $f$ significa que podemos tomar cualquier pregunta sobre su conjunto, traducirla en una pregunta sobre $\mathbb{N}$ y responder en los números naturales estándar. Por lo tanto, ambos conjuntos funcionarán exactamente igual.

En particular, supongamos que ha elegido etiquetar algún elemento de su conjunto de naturales con la etiqueta $\pi$ . No va a tener las propiedades que normalmente pensamos del número $\pi$ como tener: por ejemplo, no va a ser entre $3$ y $4$ (o mejor dicho, $S(S(S(0)))$ y $S(S(S(S(0))))$ ) porque en los números naturales no hay elementos entre $3$ y $4$ . En cambio, el elemento que ha etiquetado $\pi$ va a ser $S(S(.....S(0)$ para un número finito de aplicaciones de la función sucesora, y tendrá todas las propiedades de ese número natural.

Ese es el sentido en el que números como $\pi$ no son números naturales.