Cálculo de todas las raíces de la matriz de Cartan.

Question

Tengo la siguiente matriz de Cartan y tengo que calcular todas las raíces. Sé que hay 18. \begin{equation} \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -2\\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix} \end{equation}

Así que si el nombre de mi base $\Delta=\{a,b,c\}$ que puede obtener de la matriz de Cartan :

$s_b(a)=a+b \to$ nueva raíz
$s_c(a)=a$
$s_a(b)=a+b$
$s_c(b)=b+2c \to$ nueva raíz
$s_a(c)=c$
$s_b(c)=c+b$

así que en este paso tengo el new roots $\{a+b, b+c, b+2c\}$

Así que me pongo de nuevo :

$s_a(a+b)=b$
$s_c(a+b)=a+b+2c \to$ nueva raíz
$s_a(b+2c)=a+b+2c$
$s_b(b+2c)=b+2c$
$s_a(b+c)=c+b+a \to$ nueva raíz
$s_c(c+b)=b$

Así que me puse las nuevas raíces $\{a+b+2c, c+b+a\}$

y puedo continuar. Pero Estoy utilizando todos los trucos que yo podría usar aquí?

Answer 1

Tienes razón, en principio. Pequeña corrección: $s_c(b+c)=b+c$. Sólo para la integridad, en un siguiente paso, usted tendrá la nueva positivo de la raíz de $s_b(a+b+2c)=a+2b+2c$, y luego tenemos todos los 9 positivos raíces. Por cierto, esta es la raíz del sistema de $B_3$.

Usted puede hacer que el procedimiento sea un poco más eficiente mediante el uso de los métodos de esta respuesta. A continuación, por ejemplo, en el primer paso, la entrada de $-2$ en la posición $a_{23}$ indica inmediatamente que el $c$-a través de la cadena de $b$ es $b, b+c, b+2c$, y se obtienen dos nuevas raíces por el precio de uno.

Por desgracia, para los pasos posteriores, que la respuesta que tácitamente se asume que tenemos una $2 \times 2$-matriz de Cartan. Pero la idea es fácilmente generalizables.

Deje $(n_{ij})_{ij}$ apuesta de la matriz de Cartan. Tomar una raíz simple de $\alpha_k$ y un resultado positivo de la raíz de $\lambda =\sum \lambda_i \alpha_i$ ($\lambda_i \in \Bbb Z^+$). Si $r:= -\sum_i \lambda_i n_{ik}$ es positivo, entonces el $\alpha_k$-a través de la cadena de $\lambda$ es $\lambda, \lambda+\alpha_k, ..., \lambda + r\alpha_k$.

Aquí, en el segundo paso, usted puede ahorrarse computing $a$- o $b$-cadenas ($s_a$ o $s_b$) de $a+b$ , debido a que ya tengo, tanto a través de $a$- e $b$-cadenas; usted no tiene que buscar más $c$-cadenas de $b+c$ o $b+2c$ bien. Por otro lado, en lugar de la informática sólo se $s_c(a+b)$, usted puede fácilmente conseguir que el $c$-a través de la cadena de $a+b$ tiene una longitud de $-(a_{13}+a_{23}) =2$, así que de nuevo se obtienen dos nuevas raíces $a+b+c$ e $a+b+2c$ a la vez.

Y, finalmente, en este tercer paso, uno podría ver la longitud de una $b$-a través de la cadena de $a+b+2c$ es $-(a_{12}+a_{22}+2a_{32}) =1$, que a su vez da el último positivo de la raíz de $a+2b+2c$.